Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30540 / 20563
↖ ↑ ↗
← N 55.519302°
W 12.238769°		 ← 345.78 m → N 55.519302°
W 12.233276°		 →
↑
345.82 m
↓
↑
345.82 m
↓
N 55.516192°
W 12.238769°		 ← 345.81 m →
119 583 m²		 N 55.516192°
W 12.233276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466011047363281 y=0.313774108886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466011047363281 × 216)
    floor (0.466011047363281 × 65536)
    floor (30540.5)     		tx = 30540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313774108886719 × 216)
    floor (0.313774108886719 × 65536)
    floor (20563.5)     		ty = 20563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30540 / 20563 ti = "16/30540/20563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30540/20563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30540 ÷ 216
    30540 ÷ 65536     		x = 0.46600341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20563 ÷ 216
    20563 ÷ 65536     		y = 0.313766479492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46600341796875 × 2 - 1) × π
    -0.0679931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21360682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313766479492188 × 2 - 1) × π
    0.372467041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17013971972557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21360682} λ = -0.21360682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17013971972557))-π/2
    2×atan(3.22244284590644)-π/2
    2×1.26989547356506-π/2
    2.53979094713011-1.57079632675     		φ = 0.96899462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21360682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.238769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96899462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.519302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30540 KachelY 20563 -0.21360682 0.96899462 -12.238769 55.519302
    Oben rechts KachelX + 1 30541 KachelY 20563 -0.21351095 0.96899462 -12.233276 55.519302
    Unten links KachelX 30540 KachelY + 1 20564 -0.21360682 0.96894034 -12.238769 55.516192
    Unten rechts KachelX + 1 30541 KachelY + 1 20564 -0.21351095 0.96894034 -12.233276 55.516192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96899462-0.96894034) × R
    5.42800000000732e-05 × 6371000     		dl = 345.817880000466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96899462-0.96894034) × R
    5.42800000000732e-05 × 6371000     		dr = 345.817880000466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21360682--0.21351095) × cos(0.96899462) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.566128568919885 × 6371000     		do = 345.78440614386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21360682--0.21351095) × cos(0.96894034) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.56617331201022 × 6371000     		du = 345.811734676229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96899462)-sin(0.96894034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566128568919885-0.56617331201022)×R²
    abs(-0.21351095--0.21360682)×4.47430903359747e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47430903359747e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47430903359747e-05×40589641000000     		ar = 119583.155646832m²