Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3054 / 5082
↖ ↑ ↗
← S 39.707186°
W 45.791016°		 ← 3 759.27 m → S 39.707186°
W 45.747070°		 →
↑
3 758.38 m
↓
↑
3 758.38 m
↓
S 39.740986°
W 45.791016°		 ← 3 757.43 m →
14 125 321 m²		 S 39.740986°
W 45.747070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37286376953125 y=0.62042236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37286376953125 × 213)
    floor (0.37286376953125 × 8192)
    floor (3054.5)     		tx = 3054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62042236328125 × 213)
    floor (0.62042236328125 × 8192)
    floor (5082.5)     		ty = 5082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3054 / 5082 ti = "13/3054/5082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3054/5082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3054 ÷ 213
    3054 ÷ 8192     		x = 0.372802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5082 ÷ 213
    5082 ÷ 8192     		y = 0.620361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.372802734375 × 2 - 1) × π
    -0.25439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79920399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620361328125 × 2 - 1) × π
    -0.24072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.756252528406006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79920399} λ = -0.79920399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.756252528406006))-π/2
    2×atan(0.469422281613351)-π/2
    2×0.438887591472971-π/2
    0.877775182945943-1.57079632675     		φ = -0.69302114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79920399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.791016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69302114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.707186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3054 KachelY 5082 -0.79920399 -0.69302114 -45.791016 -39.707186
    Oben rechts KachelX + 1 3055 KachelY 5082 -0.79843700 -0.69302114 -45.747070 -39.707186
    Unten links KachelX 3054 KachelY + 1 5083 -0.79920399 -0.69361106 -45.791016 -39.740986
    Unten rechts KachelX + 1 3055 KachelY + 1 5083 -0.79843700 -0.69361106 -45.747070 -39.740986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69302114--0.69361106) × R
    0.000589919999999911 × 6371000     		dl = 3758.38031999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69302114--0.69361106) × R
    0.000589919999999911 × 6371000     		dr = 3758.38031999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79920399--0.79843700) × cos(-0.69302114) × R
    0.000766990000000023 × 0.769319430290659 × 6371000     		do = 3759.27423398204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79920399--0.79843700) × cos(-0.69361106) × R
    0.000766990000000023 × 0.768942417611527 × 6371000     		du = 3757.43196405522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69302114)-sin(-0.69361106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769319430290659-0.768942417611527)×R²
    abs(-0.79843700--0.79920399)×0.000377012679131483×R²
    0.000766990000000023×0.000377012679131483×6371000²
    0.000766990000000023×0.000377012679131483×40589641000000     		ar = 14125320.7326019m²