Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30538 / 17179
↖ ↑ ↗
← N 64.710841°
W 12.249756°		 ← 260.92 m → N 64.710841°
W 12.244263°		 →
↑
260.96 m
↓
↑
260.96 m
↓
N 64.708494°
W 12.249756°		 ← 260.94 m →
68 092 m²		 N 64.708494°
W 12.244263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465980529785156 y=0.262138366699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465980529785156 × 216)
    floor (0.465980529785156 × 65536)
    floor (30538.5)     		tx = 30538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262138366699219 × 216)
    floor (0.262138366699219 × 65536)
    floor (17179.5)     		ty = 17179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30538 / 17179 ti = "16/30538/17179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30538/17179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30538 ÷ 216
    30538 ÷ 65536     		x = 0.465972900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17179 ÷ 216
    17179 ÷ 65536     		y = 0.262130737304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465972900390625 × 2 - 1) × π
    -0.06805419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21379857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262130737304688 × 2 - 1) × π
    0.475738525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49457665635411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21379857} λ = -0.21379857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49457665635411))-π/2
    2×atan(4.45744912059771)-π/2
    2×1.35010678216158-π/2
    2.70021356432316-1.57079632675     		φ = 1.12941724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21379857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.249756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12941724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.710841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30538 KachelY 17179 -0.21379857 1.12941724 -12.249756 64.710841
    Oben rechts KachelX + 1 30539 KachelY 17179 -0.21370270 1.12941724 -12.244263 64.710841
    Unten links KachelX 30538 KachelY + 1 17180 -0.21379857 1.12937628 -12.249756 64.708494
    Unten rechts KachelX + 1 30539 KachelY + 1 17180 -0.21370270 1.12937628 -12.244263 64.708494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12941724-1.12937628) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dl = 260.956159999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12941724-1.12937628) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dr = 260.956159999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21379857--0.21370270) × cos(1.12941724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.427186790699008 × 6371000     		do = 260.920467264498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21379857--0.21370270) × cos(1.12937628) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.427223824873329 × 6371000     		du = 260.943087285245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12941724)-sin(1.12937628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427186790699008-0.427223824873329)×R²
    abs(-0.21370270--0.21379857)×3.70341743210489e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.70341743210489e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.70341743210489e-05×40589641000000     		ar = 68091.7546290287m²