Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30536 / 28968
↖ ↑ ↗
← S 79.765560°
E155.478515°		 ← 217.06 m → S 79.765560°
E155.489502°		 →
↑
217.06 m
↓
↑
217.06 m
↓
S 79.767512°
E155.478515°		 ← 217.02 m →
47 110 m²		 S 79.767512°
E155.489502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931900024414062 y=0.884048461914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931900024414062 × 215)
    floor (0.931900024414062 × 32768)
    floor (30536.5)     		tx = 30536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884048461914062 × 215)
    floor (0.884048461914062 × 32768)
    floor (28968.5)     		ty = 28968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30536 / 28968 ti = "15/30536/28968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30536/28968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30536 ÷ 215
    30536 ÷ 32768     		x = 0.931884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28968 ÷ 215
    28968 ÷ 32768     		y = 0.884033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931884765625 × 2 - 1) × π
    0.86376953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71361201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884033203125 × 2 - 1) × π
    -0.76806640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.41295177927515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71361201} λ = 2.71361201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41295177927515))-π/2
    2×atan(0.0895505705428017)-π/2
    2×0.0893123380021784-π/2
    0.178624676004357-1.57079632675     		φ = -1.39217165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71361201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.478515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39217165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.765560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30536 KachelY 28968 2.71361201 -1.39217165 155.478515 -79.765560
    Oben rechts KachelX + 1 30537 KachelY 28968 2.71380376 -1.39217165 155.489502 -79.765560
    Unten links KachelX 30536 KachelY + 1 28969 2.71361201 -1.39220572 155.478515 -79.767512
    Unten rechts KachelX + 1 30537 KachelY + 1 28969 2.71380376 -1.39220572 155.489502 -79.767512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39217165--1.39220572) × R
    3.40699999998861e-05 × 6371000     		dl = 217.059969999275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39217165--1.39220572) × R
    3.40699999998861e-05 × 6371000     		dr = 217.059969999275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71361201-2.71380376) × cos(-1.39217165) × R
    0.000191749999999935 × 0.177676301473069 × 6371000     		do = 217.05634367426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71361201-2.71380376) × cos(-1.39220572) × R
    0.000191749999999935 × 0.17764277345821 × 6371000     		du = 217.015384535334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39217165)-sin(-1.39220572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177676301473069-0.17764277345821)×R²
    abs(2.71380376-2.71361201)×3.35280148584804e-05×R²
    0.000191749999999935×3.35280148584804e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.35280148584804e-05×40589641000000     		ar = 47109.7981555564m²