Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30535 / 41553
↖ ↑ ↗
← S 43.393074°
W 12.266235°		 ← 443.83 m → S 43.393074°
W 12.260742°		 →
↑
443.80 m
↓
↑
443.80 m
↓
S 43.397065°
W 12.266235°		 ← 443.80 m →
196 969 m²		 S 43.397065°
W 12.260742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465934753417969 y=0.634056091308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465934753417969 × 216)
    floor (0.465934753417969 × 65536)
    floor (30535.5)     		tx = 30535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634056091308594 × 216)
    floor (0.634056091308594 × 65536)
    floor (41553.5)     		ty = 41553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30535 / 41553 ti = "16/30535/41553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30535/41553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30535 ÷ 216
    30535 ÷ 65536     		x = 0.465927124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41553 ÷ 216
    41553 ÷ 65536     		y = 0.634048461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465927124023438 × 2 - 1) × π
    -0.068145751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21408619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634048461914062 × 2 - 1) × π
    -0.268096923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.842251326324387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21408619} λ = -0.21408619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.842251326324387))-π/2
    2×atan(0.430739695398571)-π/2
    2×0.406722158912997-π/2
    0.813444317825995-1.57079632675     		φ = -0.75735201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21408619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.266235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75735201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.393074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30535 KachelY 41553 -0.21408619 -0.75735201 -12.266235 -43.393074
    Oben rechts KachelX + 1 30536 KachelY 41553 -0.21399032 -0.75735201 -12.260742 -43.393074
    Unten links KachelX 30535 KachelY + 1 41554 -0.21408619 -0.75742167 -12.266235 -43.397065
    Unten rechts KachelX + 1 30536 KachelY + 1 41554 -0.21399032 -0.75742167 -12.260742 -43.397065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75735201--0.75742167) × R
    6.96600000000824e-05 × 6371000     		dl = 443.803860000525m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75735201--0.75742167) × R
    6.96600000000824e-05 × 6371000     		dr = 443.803860000525m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21408619--0.21399032) × cos(-0.75735201) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.726657724486858 × 6371000     		do = 443.833651092593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21408619--0.21399032) × cos(-0.75742167) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.726609866326579 × 6371000     		du = 443.8044199136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75735201)-sin(-0.75742167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726657724486858-0.726609866326579)×R²
    abs(-0.21399032--0.21408619)×4.78581602790795e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78581602790795e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78581602790795e-05×40589641000000     		ar = 196968.601177833m²