Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30535 / 20555
↖ ↑ ↗
← N 55.544173°
W 12.266235°		 ← 345.57 m → N 55.544173°
W 12.260742°		 →
↑
345.63 m
↓
↑
345.63 m
↓
N 55.541065°
W 12.266235°		 ← 345.59 m →
119 442 m²		 N 55.541065°
W 12.260742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465934753417969 y=0.313652038574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465934753417969 × 216)
    floor (0.465934753417969 × 65536)
    floor (30535.5)     		tx = 30535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313652038574219 × 216)
    floor (0.313652038574219 × 65536)
    floor (20555.5)     		ty = 20555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30535 / 20555 ti = "16/30535/20555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30535/20555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30535 ÷ 216
    30535 ÷ 65536     		x = 0.465927124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20555 ÷ 216
    20555 ÷ 65536     		y = 0.313644409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465927124023438 × 2 - 1) × π
    -0.068145751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21408619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313644409179688 × 2 - 1) × π
    0.372711181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17090671011949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21408619} λ = -0.21408619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17090671011949))-π/2
    2×atan(3.22491537669668)-π/2
    2×1.27011251252724-π/2
    2.54022502505449-1.57079632675     		φ = 0.96942870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21408619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.266235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96942870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.544173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30535 KachelY 20555 -0.21408619 0.96942870 -12.266235 55.544173
    Oben rechts KachelX + 1 30536 KachelY 20555 -0.21399032 0.96942870 -12.260742 55.544173
    Unten links KachelX 30535 KachelY + 1 20556 -0.21408619 0.96937445 -12.266235 55.541065
    Unten rechts KachelX + 1 30536 KachelY + 1 20556 -0.21399032 0.96937445 -12.260742 55.541065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96942870-0.96937445) × R
    5.42500000000334e-05 × 6371000     		dl = 345.626750000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96942870-0.96937445) × R
    5.42500000000334e-05 × 6371000     		dr = 345.626750000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21408619--0.21399032) × cos(0.96942870) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.565770696090478 × 6371000     		do = 345.565821796444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21408619--0.21399032) × cos(0.96937445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.565815427780212 × 6371000     		du = 345.593143365464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96942870)-sin(0.96937445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565770696090478-0.565815427780212)×R²
    abs(-0.21399032--0.21408619)×4.47316897330685e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47316897330685e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47316897330685e-05×40589641000000     		ar = 119441.513460194m²