Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30534 / 28930
↖ ↑ ↗
← S 79.691117°
E155.456543°		 ← 218.62 m → S 79.691117°
E155.467530°		 →
↑
218.59 m
↓
↑
218.59 m
↓
S 79.693083°
E155.456543°		 ← 218.58 m →
47 783 m²		 S 79.693083°
E155.467530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931838989257812 y=0.882888793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931838989257812 × 215)
    floor (0.931838989257812 × 32768)
    floor (30534.5)     		tx = 30534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882888793945312 × 215)
    floor (0.882888793945312 × 32768)
    floor (28930.5)     		ty = 28930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30534 / 28930 ti = "15/30534/28930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30534/28930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30534 ÷ 215
    30534 ÷ 32768     		x = 0.93182373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28930 ÷ 215
    28930 ÷ 32768     		y = 0.88287353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93182373046875 × 2 - 1) × π
    0.8636474609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71322852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88287353515625 × 2 - 1) × π
    -0.7657470703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.4056653705329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71322852} λ = 2.71322852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4056653705329))-π/2
    2×atan(0.0902054555855146)-π/2
    2×0.0899619752158257-π/2
    0.179923950431651-1.57079632675     		φ = -1.39087238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71322852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.456543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39087238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.691117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30534 KachelY 28930 2.71322852 -1.39087238 155.456543 -79.691117
    Oben rechts KachelX + 1 30535 KachelY 28930 2.71342027 -1.39087238 155.467530 -79.691117
    Unten links KachelX 30534 KachelY + 1 28931 2.71322852 -1.39090669 155.456543 -79.693083
    Unten rechts KachelX + 1 30535 KachelY + 1 28931 2.71342027 -1.39090669 155.467530 -79.693083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39087238--1.39090669) × R
    3.43099999999819e-05 × 6371000     		dl = 218.589009999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39087238--1.39090669) × R
    3.43099999999819e-05 × 6371000     		dr = 218.589009999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71322852-2.71342027) × cos(-1.39087238) × R
    0.000191749999999935 × 0.178954748441977 × 6371000     		do = 218.618144670522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71322852-2.71342027) × cos(-1.39090669) × R
    0.000191749999999935 × 0.178920992192494 × 6371000     		du = 218.576906711221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39087238)-sin(-1.39090669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178954748441977-0.178920992192494)×R²
    abs(2.71342027-2.71322852)×3.37562494830967e-05×R²
    0.000191749999999935×3.37562494830967e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.37562494830967e-05×40589641000000     		ar = 47783.0167345508m²