Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30534 / 28912
↖ ↑ ↗
← S 79.655668°
E155.456543°		 ← 219.36 m → S 79.655668°
E155.467530°		 →
↑
219.35 m
↓
↑
219.35 m
↓
S 79.657640°
E155.456543°		 ← 219.32 m →
48 113 m²		 S 79.657640°
E155.467530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931838989257812 y=0.882339477539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931838989257812 × 215)
    floor (0.931838989257812 × 32768)
    floor (30534.5)     		tx = 30534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882339477539062 × 215)
    floor (0.882339477539062 × 32768)
    floor (28912.5)     		ty = 28912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30534 / 28912 ti = "15/30534/28912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30534/28912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30534 ÷ 215
    30534 ÷ 32768     		x = 0.93182373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28912 ÷ 215
    28912 ÷ 32768     		y = 0.88232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93182373046875 × 2 - 1) × π
    0.8636474609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71322852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88232421875 × 2 - 1) × π
    -0.7646484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.40221391376025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71322852} λ = 2.71322852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40221391376025))-π/2
    2×atan(0.0905173337234751)-π/2
    2×0.0902713274343041-π/2
    0.180542654868608-1.57079632675     		φ = -1.39025367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71322852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.456543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39025367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.655668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30534 KachelY 28912 2.71322852 -1.39025367 155.456543 -79.655668
    Oben rechts KachelX + 1 30535 KachelY 28912 2.71342027 -1.39025367 155.467530 -79.655668
    Unten links KachelX 30534 KachelY + 1 28913 2.71322852 -1.39028810 155.456543 -79.657640
    Unten rechts KachelX + 1 30535 KachelY + 1 28913 2.71342027 -1.39028810 155.467530 -79.657640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39025367--1.39028810) × R
    3.44299999999187e-05 × 6371000     		dl = 219.353529999482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39025367--1.39028810) × R
    3.44299999999187e-05 × 6371000     		dr = 219.353529999482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71322852-2.71342027) × cos(-1.39025367) × R
    0.000191749999999935 × 0.179563436504638 × 6371000     		do = 219.361741898874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71322852-2.71342027) × cos(-1.39028810) × R
    0.000191749999999935 × 0.17952956600979 × 6371000     		du = 219.320364372951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39025367)-sin(-1.39028810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179563436504638-0.17952956600979)×R²
    abs(2.71342027-2.71322852)×3.38704948479596e-05×R²
    0.000191749999999935×3.38704948479596e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.38704948479596e-05×40589641000000     		ar = 48113.23428445m²