Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30534 / 20375
↖ ↑ ↗
← N 56.099620°
W 12.271729°		 ← 340.70 m → N 56.099620°
W 12.266235°		 →
↑
340.66 m
↓
↑
340.66 m
↓
N 56.096556°
W 12.271729°		 ← 340.73 m →
116 068 m²		 N 56.096556°
W 12.266235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465919494628906 y=0.310905456542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465919494628906 × 216)
    floor (0.465919494628906 × 65536)
    floor (30534.5)     		tx = 30534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310905456542969 × 216)
    floor (0.310905456542969 × 65536)
    floor (20375.5)     		ty = 20375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30534 / 20375 ti = "16/30534/20375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30534/20375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30534 ÷ 216
    30534 ÷ 65536     		x = 0.465911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20375 ÷ 216
    20375 ÷ 65536     		y = 0.310897827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465911865234375 × 2 - 1) × π
    -0.06817626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21418207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310897827148438 × 2 - 1) × π
    0.378204345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18816399398271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21418207} λ = -0.21418207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18816399398271))-π/2
    2×atan(3.28105164335873)-π/2
    2×1.27495969972519-π/2
    2.54991939945038-1.57079632675     		φ = 0.97912307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21418207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.271729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97912307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.099620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30534 KachelY 20375 -0.21418207 0.97912307 -12.271729 56.099620
    Oben rechts KachelX + 1 30535 KachelY 20375 -0.21408619 0.97912307 -12.266235 56.099620
    Unten links KachelX 30534 KachelY + 1 20376 -0.21418207 0.97906960 -12.271729 56.096556
    Unten rechts KachelX + 1 30535 KachelY + 1 20376 -0.21408619 0.97906960 -12.266235 56.096556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97912307-0.97906960) × R
    5.34699999999999e-05 × 6371000     		dl = 340.657369999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97912307-0.97906960) × R
    5.34699999999999e-05 × 6371000     		dr = 340.657369999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21418207--0.21408619) × cos(0.97912307) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.557750620555091 × 6371000     		do = 340.702792036969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21418207--0.21408619) × cos(0.97906960) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.557795000316603 × 6371000     		du = 340.729901479971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97912307)-sin(0.97906960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557750620555091-0.557795000316603)×R²
    abs(-0.21408619--0.21418207)×4.4379761512725e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.4379761512725e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.4379761512725e-05×40589641000000     		ar = 116067.534630398m²