Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30533 / 28907
↖ ↑ ↗
← S 79.645800°
E155.445557°		 ← 219.57 m → S 79.645800°
E155.456543°		 →
↑
219.54 m
↓
↑
219.54 m
↓
S 79.647774°
E155.445557°		 ← 219.53 m →
48 201 m²		 S 79.647774°
E155.456543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931808471679688 y=0.882186889648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931808471679688 × 215)
    floor (0.931808471679688 × 32768)
    floor (30533.5)     		tx = 30533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882186889648438 × 215)
    floor (0.882186889648438 × 32768)
    floor (28907.5)     		ty = 28907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30533 / 28907 ti = "15/30533/28907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30533/28907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30533 ÷ 215
    30533 ÷ 32768     		x = 0.931793212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28907 ÷ 215
    28907 ÷ 32768     		y = 0.882171630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931793212890625 × 2 - 1) × π
    0.86358642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71303677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882171630859375 × 2 - 1) × π
    -0.76434326171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.40125517576785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71303677} λ = 2.71303677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40125517576785))-π/2
    2×atan(0.0906041577443798)-π/2
    2×0.0903574451820922-π/2
    0.180714890364184-1.57079632675     		φ = -1.39008144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71303677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.445557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39008144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.645800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30533 KachelY 28907 2.71303677 -1.39008144 155.445557 -79.645800
    Oben rechts KachelX + 1 30534 KachelY 28907 2.71322852 -1.39008144 155.456543 -79.645800
    Unten links KachelX 30533 KachelY + 1 28908 2.71303677 -1.39011590 155.445557 -79.647774
    Unten rechts KachelX + 1 30534 KachelY + 1 28908 2.71322852 -1.39011590 155.456543 -79.647774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39008144--1.39011590) × R
    3.44600000001805e-05 × 6371000     		dl = 219.54466000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39008144--1.39011590) × R
    3.44600000001805e-05 × 6371000     		dr = 219.54466000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71303677-2.71322852) × cos(-1.39008144) × R
    0.000191749999999935 × 0.179732864482428 × 6371000     		do = 219.56872176659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71303677-2.71322852) × cos(-1.39011590) × R
    0.000191749999999935 × 0.179698965541121 × 6371000     		du = 219.527309489357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39008144)-sin(-1.39011590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179732864482428-0.179698965541121)×R²
    abs(2.71322852-2.71303677)×3.38989413062596e-05×R²
    0.000191749999999935×3.38989413062596e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.38989413062596e-05×40589641000000     		ar = 48200.5944495049m²