Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30533 / 20374
↖ ↑ ↗
← N 56.102683°
W 12.277222°		 ← 340.64 m → N 56.102683°
W 12.271729°		 →
↑
340.66 m
↓
↑
340.66 m
↓
N 56.099620°
W 12.277222°		 ← 340.67 m →
116 046 m²		 N 56.099620°
W 12.271729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465904235839844 y=0.310890197753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465904235839844 × 216)
    floor (0.465904235839844 × 65536)
    floor (30533.5)     		tx = 30533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310890197753906 × 216)
    floor (0.310890197753906 × 65536)
    floor (20374.5)     		ty = 20374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30533 / 20374 ti = "16/30533/20374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30533/20374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30533 ÷ 216
    30533 ÷ 65536     		x = 0.465896606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20374 ÷ 216
    20374 ÷ 65536     		y = 0.310882568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465896606445312 × 2 - 1) × π
    -0.068206787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21427794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310882568359375 × 2 - 1) × π
    0.37823486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18825986778195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21427794} λ = -0.21427794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18825986778195))-π/2
    2×atan(3.28136622532512)-π/2
    2×1.27498643549681-π/2
    2.54997287099361-1.57079632675     		φ = 0.97917654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21427794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.277222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97917654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.102683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30533 KachelY 20374 -0.21427794 0.97917654 -12.277222 56.102683
    Oben rechts KachelX + 1 30534 KachelY 20374 -0.21418207 0.97917654 -12.271729 56.102683
    Unten links KachelX 30533 KachelY + 1 20375 -0.21427794 0.97912307 -12.277222 56.099620
    Unten rechts KachelX + 1 30534 KachelY + 1 20375 -0.21418207 0.97912307 -12.271729 56.099620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97917654-0.97912307) × R
    5.34699999999999e-05 × 6371000     		dl = 340.657369999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97917654-0.97912307) × R
    5.34699999999999e-05 × 6371000     		dr = 340.657369999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21427794--0.21418207) × cos(0.97917654) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.557706239198946 × 6371000     		do = 340.640150155403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21427794--0.21418207) × cos(0.97912307) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.557750620555091 × 6371000     		du = 340.667257744953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97917654)-sin(0.97912307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557706239198946-0.557750620555091)×R²
    abs(-0.21418207--0.21427794)×4.4381356144596e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4381356144596e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4381356144596e-05×40589641000000     		ar = 116046.194895797m²