Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30532 / 28980
↖ ↑ ↗
← S 79.788958°
E155.434570°		 ← 216.57 m → S 79.788958°
E155.445557°		 →
↑
216.55 m
↓
↑
216.55 m
↓
S 79.790905°
E155.434570°		 ← 216.52 m →
46 893 m²		 S 79.790905°
E155.445557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931777954101562 y=0.884414672851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931777954101562 × 215)
    floor (0.931777954101562 × 32768)
    floor (30532.5)     		tx = 30532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884414672851562 × 215)
    floor (0.884414672851562 × 32768)
    floor (28980.5)     		ty = 28980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30532 / 28980 ti = "15/30532/28980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30532/28980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30532 ÷ 215
    30532 ÷ 32768     		x = 0.9317626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28980 ÷ 215
    28980 ÷ 32768     		y = 0.8843994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9317626953125 × 2 - 1) × π
    0.863525390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71284502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8843994140625 × 2 - 1) × π
    -0.768798828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41525275045691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71284502} λ = 2.71284502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41525275045691))-π/2
    2×atan(0.0893447541402851)-π/2
    2×0.0891081552429917-π/2
    0.178216310485983-1.57079632675     		φ = -1.39258002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71284502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.434570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39258002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.788958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30532 KachelY 28980 2.71284502 -1.39258002 155.434570 -79.788958
    Oben rechts KachelX + 1 30533 KachelY 28980 2.71303677 -1.39258002 155.445557 -79.788958
    Unten links KachelX 30532 KachelY + 1 28981 2.71284502 -1.39261401 155.434570 -79.790905
    Unten rechts KachelX + 1 30533 KachelY + 1 28981 2.71303677 -1.39261401 155.445557 -79.790905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39258002--1.39261401) × R
    3.39899999999282e-05 × 6371000     		dl = 216.550289999543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39258002--1.39261401) × R
    3.39899999999282e-05 × 6371000     		dr = 216.550289999543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71284502-2.71303677) × cos(-1.39258002) × R
    0.000191749999999935 × 0.177274414249936 × 6371000     		do = 216.565382468407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71284502-2.71303677) × cos(-1.39261401) × R
    0.000191749999999935 × 0.177240962499466 × 6371000     		du = 216.524516497052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39258002)-sin(-1.39261401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177274414249936-0.177240962499466)×R²
    abs(2.71303677-2.71284502)×3.34517504698983e-05×R²
    0.000191749999999935×3.34517504698983e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.34517504698983e-05×40589641000000     		ar = 46892.8716127649m²