Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30532 / 20560
↖ ↑ ↗
← N 55.528630°
W 12.282715°		 ← 345.74 m → N 55.528630°
W 12.277222°		 →
↑
345.69 m
↓
↑
345.69 m
↓
N 55.525522°
W 12.282715°		 ← 345.77 m →
119 523 m²		 N 55.525522°
W 12.277222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465888977050781 y=0.313728332519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465888977050781 × 216)
    floor (0.465888977050781 × 65536)
    floor (30532.5)     		tx = 30532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313728332519531 × 216)
    floor (0.313728332519531 × 65536)
    floor (20560.5)     		ty = 20560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30532 / 20560 ti = "16/30532/20560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30532/20560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30532 ÷ 216
    30532 ÷ 65536     		x = 0.46588134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20560 ÷ 216
    20560 ÷ 65536     		y = 0.313720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46588134765625 × 2 - 1) × π
    -0.0682373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21437382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313720703125 × 2 - 1) × π
    0.37255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17042734112329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21437382} λ = -0.21437382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17042734112329))-π/2
    2×atan(3.22336982272465)-π/2
    2×1.26997687925913-π/2
    2.53995375851826-1.57079632675     		φ = 0.96915743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21437382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.282715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96915743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.528630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30532 KachelY 20560 -0.21437382 0.96915743 -12.282715 55.528630
    Oben rechts KachelX + 1 30533 KachelY 20560 -0.21427794 0.96915743 -12.277222 55.528630
    Unten links KachelX 30532 KachelY + 1 20561 -0.21437382 0.96910317 -12.282715 55.525522
    Unten rechts KachelX + 1 30533 KachelY + 1 20561 -0.21427794 0.96910317 -12.277222 55.525522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96915743-0.96910317) × R
    5.42599999999727e-05 × 6371000     		dl = 345.690459999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96915743-0.96910317) × R
    5.42599999999727e-05 × 6371000     		dr = 345.690459999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21437382--0.21427794) × cos(0.96915743) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.565994354373708 × 6371000     		do = 345.738489040797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21437382--0.21427794) × cos(0.96910317) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.566039085979144 × 6371000     		du = 345.765813408181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96915743)-sin(0.96910317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565994354373708-0.566039085979144)×R²
    abs(-0.21427794--0.21437382)×4.47316054357216e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.47316054357216e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.47316054357216e-05×40589641000000     		ar = 119523.220231898m²