Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30531 / 41528
↖ ↑ ↗
← S 43.293200°
W 12.288208°		 ← 444.56 m → S 43.293200°
W 12.282715°		 →
↑
444.57 m
↓
↑
444.57 m
↓
S 43.297198°
W 12.288208°		 ← 444.54 m →
197 633 m²		 S 43.297198°
W 12.282715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465873718261719 y=0.633674621582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465873718261719 × 216)
    floor (0.465873718261719 × 65536)
    floor (30531.5)     		tx = 30531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633674621582031 × 216)
    floor (0.633674621582031 × 65536)
    floor (41528.5)     		ty = 41528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30531 / 41528 ti = "16/30531/41528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30531/41528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30531 ÷ 216
    30531 ÷ 65536     		x = 0.465866088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41528 ÷ 216
    41528 ÷ 65536     		y = 0.6336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465866088867188 × 2 - 1) × π
    -0.068267822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21446969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6336669921875 × 2 - 1) × π
    -0.267333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.839854481343384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21446969} λ = -0.21446969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839854481343384))-π/2
    2×atan(0.4317733499356)-π/2
    2×0.407593718805097-π/2
    0.815187437610194-1.57079632675     		φ = -0.75560889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21446969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.288208°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75560889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.293200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30531 KachelY 41528 -0.21446969 -0.75560889 -12.288208 -43.293200
    Oben rechts KachelX + 1 30532 KachelY 41528 -0.21437382 -0.75560889 -12.282715 -43.293200
    Unten links KachelX 30531 KachelY + 1 41529 -0.21446969 -0.75567867 -12.288208 -43.297198
    Unten rechts KachelX + 1 30532 KachelY + 1 41529 -0.21437382 -0.75567867 -12.282715 -43.297198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75560889--0.75567867) × R
    6.97800000000193e-05 × 6371000     		dl = 444.568380000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75560889--0.75567867) × R
    6.97800000000193e-05 × 6371000     		dr = 444.568380000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21446969--0.21437382) × cos(-0.75560889) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.727854142788759 × 6371000     		do = 444.564408759198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21446969--0.21437382) × cos(-0.75567867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.727806290639262 × 6371000     		du = 444.535181251517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75560889)-sin(-0.75567867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727854142788759-0.727806290639262)×R²
    abs(-0.21437382--0.21446969)×4.78521494969852e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78521494969852e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78521494969852e-05×40589641000000     		ar = 197632.782275357m²