Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30531 / 41524
↖ ↑ ↗
← S 43.277205°
W 12.288208°		 ← 444.68 m → S 43.277205°
W 12.282715°		 →
↑
444.70 m
↓
↑
444.70 m
↓
S 43.281204°
W 12.288208°		 ← 444.65 m →
197 741 m²		 S 43.281204°
W 12.282715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465873718261719 y=0.633613586425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465873718261719 × 216)
    floor (0.465873718261719 × 65536)
    floor (30531.5)     		tx = 30531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633613586425781 × 216)
    floor (0.633613586425781 × 65536)
    floor (41524.5)     		ty = 41524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30531 / 41524 ti = "16/30531/41524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30531/41524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30531 ÷ 216
    30531 ÷ 65536     		x = 0.465866088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41524 ÷ 216
    41524 ÷ 65536     		y = 0.63360595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465866088867188 × 2 - 1) × π
    -0.068267822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21446969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63360595703125 × 2 - 1) × π
    -0.2672119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.839470986146423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21446969} λ = -0.21446969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839470986146423))-π/2
    2×atan(0.431938964695678)-π/2
    2×0.407733301439877-π/2
    0.815466602879754-1.57079632675     		φ = -0.75532972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21446969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.288208°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75532972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.277205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30531 KachelY 41524 -0.21446969 -0.75532972 -12.288208 -43.277205
    Oben rechts KachelX + 1 30532 KachelY 41524 -0.21437382 -0.75532972 -12.282715 -43.277205
    Unten links KachelX 30531 KachelY + 1 41525 -0.21446969 -0.75539952 -12.288208 -43.281204
    Unten rechts KachelX + 1 30532 KachelY + 1 41525 -0.21437382 -0.75539952 -12.282715 -43.281204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75532972--0.75539952) × R
    6.98000000000087e-05 × 6371000     		dl = 444.695800000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75532972--0.75539952) × R
    6.98000000000087e-05 × 6371000     		dr = 444.695800000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21446969--0.21437382) × cos(-0.75532972) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.72804555021983 × 6371000     		do = 444.681318077183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21446969--0.21437382) × cos(-0.75539952) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.72799769853909 × 6371000     		du = 444.652090855814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75532972)-sin(-0.75539952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72804555021983-0.72799769853909)×R²
    abs(-0.21437382--0.21446969)×4.78516807399521e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78516807399521e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78516807399521e-05×40589641000000     		ar = 197741.415956575m²