Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30531 / 41518
↖ ↑ ↗
← S 43.253205°
W 12.288208°		 ← 444.86 m → S 43.253205°
W 12.282715°		 →
↑
444.82 m
↓
↑
444.82 m
↓
S 43.257205°
W 12.288208°		 ← 444.83 m →
197 876 m²		 S 43.257205°
W 12.282715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465873718261719 y=0.633522033691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465873718261719 × 216)
    floor (0.465873718261719 × 65536)
    floor (30531.5)     		tx = 30531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633522033691406 × 216)
    floor (0.633522033691406 × 65536)
    floor (41518.5)     		ty = 41518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30531 / 41518 ti = "16/30531/41518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30531/41518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30531 ÷ 216
    30531 ÷ 65536     		x = 0.465866088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41518 ÷ 216
    41518 ÷ 65536     		y = 0.633514404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465866088867188 × 2 - 1) × π
    -0.068267822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21446969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633514404296875 × 2 - 1) × π
    -0.26702880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.838895743350983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21446969} λ = -0.21446969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.838895743350983))-π/2
    2×atan(0.43218750595212)-π/2
    2×0.40794274420543-π/2
    0.81588548841086-1.57079632675     		φ = -0.75491084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21446969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.288208°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75491084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.253205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30531 KachelY 41518 -0.21446969 -0.75491084 -12.288208 -43.253205
    Oben rechts KachelX + 1 30532 KachelY 41518 -0.21437382 -0.75491084 -12.282715 -43.253205
    Unten links KachelX 30531 KachelY + 1 41519 -0.21446969 -0.75498066 -12.288208 -43.257205
    Unten rechts KachelX + 1 30532 KachelY + 1 41519 -0.21437382 -0.75498066 -12.282715 -43.257205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75491084--0.75498066) × R
    6.98199999999982e-05 × 6371000     		dl = 444.823219999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75491084--0.75498066) × R
    6.98199999999982e-05 × 6371000     		dr = 444.823219999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21446969--0.21437382) × cos(-0.75491084) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.728332640625605 × 6371000     		do = 444.856669385915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21446969--0.21437382) × cos(-0.75498066) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.728284796529339 × 6371000     		du = 444.827446797049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75491084)-sin(-0.75498066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728332640625605-0.728284796529339)×R²
    abs(-0.21437382--0.21446969)×4.78440962659032e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78440962659032e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78440962659032e-05×40589641000000     		ar = 197876.076752049m²