Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30531 / 17099
↖ ↑ ↗
← N 64.897920°
W 12.288208°		 ← 259.12 m → N 64.897920°
W 12.282715°		 →
↑
259.17 m
↓
↑
259.17 m
↓
N 64.895589°
W 12.288208°		 ← 259.14 m →
67 159 m²		 N 64.895589°
W 12.282715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465873718261719 y=0.260917663574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465873718261719 × 216)
    floor (0.465873718261719 × 65536)
    floor (30531.5)     		tx = 30531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260917663574219 × 216)
    floor (0.260917663574219 × 65536)
    floor (17099.5)     		ty = 17099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30531 / 17099 ti = "16/30531/17099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30531/17099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30531 ÷ 216
    30531 ÷ 65536     		x = 0.465866088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17099 ÷ 216
    17099 ÷ 65536     		y = 0.260910034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465866088867188 × 2 - 1) × π
    -0.068267822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21446969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260910034179688 × 2 - 1) × π
    0.478179931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50224656029332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21446969} λ = -0.21446969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50224656029332))-π/2
    2×atan(4.49176877314115)-π/2
    2×1.35173935272273-π/2
    2.70347870544546-1.57079632675     		φ = 1.13268238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21446969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.288208°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13268238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.897920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30531 KachelY 17099 -0.21446969 1.13268238 -12.288208 64.897920
    Oben rechts KachelX + 1 30532 KachelY 17099 -0.21437382 1.13268238 -12.282715 64.897920
    Unten links KachelX 30531 KachelY + 1 17100 -0.21446969 1.13264170 -12.288208 64.895589
    Unten rechts KachelX + 1 30532 KachelY + 1 17100 -0.21437382 1.13264170 -12.282715 64.895589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13268238-1.13264170) × R
    4.06800000001262e-05 × 6371000     		dl = 259.172280000804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13268238-1.13264170) × R
    4.06800000001262e-05 × 6371000     		dr = 259.172280000804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21446969--0.21437382) × cos(1.13268238) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42423229872843 × 6371000     		do = 259.115899702306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21446969--0.21437382) × cos(1.13264170) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424269136289629 × 6371000     		du = 259.138399634163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13268238)-sin(1.13264170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42423229872843-0.424269136289629)×R²
    abs(-0.21437382--0.21446969)×3.68375611994876e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68375611994876e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68375611994876e-05×40589641000000     		ar = 67158.5741987084m²