Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3053 / 5079
↖ ↑ ↗
← S 39.605688°
W 45.834961°		 ← 3 764.80 m → S 39.605688°
W 45.791016°		 →
↑
3 763.86 m
↓
↑
3 763.86 m
↓
S 39.639537°
W 45.834961°		 ← 3 762.96 m →
14 166 708 m²		 S 39.639537°
W 45.791016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37274169921875 y=0.62005615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37274169921875 × 213)
    floor (0.37274169921875 × 8192)
    floor (3053.5)     		tx = 3053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62005615234375 × 213)
    floor (0.62005615234375 × 8192)
    floor (5079.5)     		ty = 5079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3053 / 5079 ti = "13/3053/5079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3053/5079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3053 ÷ 213
    3053 ÷ 8192     		x = 0.3726806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5079 ÷ 213
    5079 ÷ 8192     		y = 0.6199951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3726806640625 × 2 - 1) × π
    -0.254638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79997098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6199951171875 × 2 - 1) × π
    -0.239990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.753951557224243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79997098} λ = -0.79997098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.753951557224243))-π/2
    2×atan(0.470503652379798)-π/2
    2×0.439773332790803-π/2
    0.879546665581606-1.57079632675     		φ = -0.69124966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79997098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.834961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69124966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.605688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3053 KachelY 5079 -0.79997098 -0.69124966 -45.834961 -39.605688
    Oben rechts KachelX + 1 3054 KachelY 5079 -0.79920399 -0.69124966 -45.791016 -39.605688
    Unten links KachelX 3053 KachelY + 1 5080 -0.79997098 -0.69184044 -45.834961 -39.639537
    Unten rechts KachelX + 1 3054 KachelY + 1 5080 -0.79920399 -0.69184044 -45.791016 -39.639537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69124966--0.69184044) × R
    0.000590780000000013 × 6371000     		dl = 3763.85938000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69124966--0.69184044) × R
    0.000590780000000013 × 6371000     		dr = 3763.85938000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79997098--0.79920399) × cos(-0.69124966) × R
    0.000766990000000023 × 0.770449957940872 × 6371000     		do = 3764.79854975897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79997098--0.79920399) × cos(-0.69184044) × R
    0.000766990000000023 × 0.770073200977456 × 6371000     		du = 3762.95752938527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69124966)-sin(-0.69184044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770449957940872-0.770073200977456)×R²
    abs(-0.79920399--0.79997098)×0.000376756963415992×R²
    0.000766990000000023×0.000376756963415992×6371000²
    0.000766990000000023×0.000376756963415992×40589641000000     		ar = 14166708.0764603m²