Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30529 / 20668
↖ ↑ ↗
← N 55.191413°
W 12.299195°		 ← 348.70 m → N 55.191413°
W 12.293701°		 →
↑
348.68 m
↓
↑
348.68 m
↓
N 55.188277°
W 12.299195°		 ← 348.72 m →
121 590 m²		 N 55.188277°
W 12.293701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465843200683594 y=0.315376281738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465843200683594 × 216)
    floor (0.465843200683594 × 65536)
    floor (30529.5)     		tx = 30529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315376281738281 × 216)
    floor (0.315376281738281 × 65536)
    floor (20668.5)     		ty = 20668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30529 / 20668 ti = "16/30529/20668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30529/20668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30529 ÷ 216
    30529 ÷ 65536     		x = 0.465835571289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20668 ÷ 216
    20668 ÷ 65536     		y = 0.31536865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465835571289062 × 2 - 1) × π
    -0.068328857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21466144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31536865234375 × 2 - 1) × π
    0.3692626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16007297080536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21466144} λ = -0.21466144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16007297080536))-π/2
    2×atan(3.19016605660937)-π/2
    2×1.26703409629879-π/2
    2.53406819259758-1.57079632675     		φ = 0.96327187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21466144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.299195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96327187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.191413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30529 KachelY 20668 -0.21466144 0.96327187 -12.299195 55.191413
    Oben rechts KachelX + 1 30530 KachelY 20668 -0.21456556 0.96327187 -12.293701 55.191413
    Unten links KachelX 30529 KachelY + 1 20669 -0.21466144 0.96321714 -12.299195 55.188277
    Unten rechts KachelX + 1 30530 KachelY + 1 20669 -0.21456556 0.96321714 -12.293701 55.188277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96327187-0.96321714) × R
    5.47300000000028e-05 × 6371000     		dl = 348.684830000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96327187-0.96321714) × R
    5.47300000000028e-05 × 6371000     		dr = 348.684830000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21466144--0.21456556) × cos(0.96327187) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.570836632736807 × 6371000     		do = 348.696401945569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21466144--0.21456556) × cos(0.96321714) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.570881568696127 × 6371000     		du = 348.723851142825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96327187)-sin(0.96321714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570836632736807-0.570881568696127)×R²
    abs(-0.21456556--0.21466144)×4.49359593200915e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.49359593200915e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.49359593200915e-05×40589641000000     		ar = 121589.931223809m²