Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30529 / 20297
↖ ↑ ↗
← N 56.337857°
W 12.299195°		 ← 338.59 m → N 56.337857°
W 12.293701°		 →
↑
338.62 m
↓
↑
338.62 m
↓
N 56.334811°
W 12.299195°		 ← 338.62 m →
114 658 m²		 N 56.334811°
W 12.293701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465843200683594 y=0.309715270996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465843200683594 × 216)
    floor (0.465843200683594 × 65536)
    floor (30529.5)     		tx = 30529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309715270996094 × 216)
    floor (0.309715270996094 × 65536)
    floor (20297.5)     		ty = 20297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30529 / 20297 ti = "16/30529/20297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30529/20297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30529 ÷ 216
    30529 ÷ 65536     		x = 0.465835571289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20297 ÷ 216
    20297 ÷ 65536     		y = 0.309707641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465835571289062 × 2 - 1) × π
    -0.068328857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21466144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309707641601562 × 2 - 1) × π
    0.380584716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19564215032344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21466144} λ = -0.21466144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19564215032344))-π/2
    2×atan(3.30567983246097)-π/2
    2×1.27703870805975-π/2
    2.5540774161195-1.57079632675     		φ = 0.98328109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21466144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.299195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98328109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.337857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30529 KachelY 20297 -0.21466144 0.98328109 -12.299195 56.337857
    Oben rechts KachelX + 1 30530 KachelY 20297 -0.21456556 0.98328109 -12.293701 56.337857
    Unten links KachelX 30529 KachelY + 1 20298 -0.21466144 0.98322794 -12.299195 56.334811
    Unten rechts KachelX + 1 30530 KachelY + 1 20298 -0.21456556 0.98322794 -12.293701 56.334811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98328109-0.98322794) × R
    5.31499999999463e-05 × 6371000     		dl = 338.618649999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98328109-0.98322794) × R
    5.31499999999463e-05 × 6371000     		dr = 338.618649999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21466144--0.21456556) × cos(0.98328109) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.554294616713317 × 6371000     		do = 338.591686975434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21466144--0.21456556) × cos(0.98322794) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.554338853766968 × 6371000     		du = 338.618709245128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98328109)-sin(0.98322794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554294616713317-0.554338853766968)×R²
    abs(-0.21456556--0.21466144)×4.42370536510861e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.42370536510861e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.42370536510861e-05×40589641000000     		ar = 114658.035094051m²