Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30529 / 13632
↖ ↑ ↗
← N 80.503112°
W 96.149597°		 ← 50.38 m → N 80.503112°
W 96.146851°		 →
↑
50.39 m
↓
↑
50.39 m
↓
N 80.502659°
W 96.149597°		 ← 50.39 m →
2 539 m²		 N 80.502659°
W 96.146851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.232921600341797 y=0.104007720947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.232921600341797 × 217)
    floor (0.232921600341797 × 131072)
    floor (30529.5)     		tx = 30529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104007720947266 × 217)
    floor (0.104007720947266 × 131072)
    floor (13632.5)     		ty = 13632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30529 / 13632 ti = "17/30529/13632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30529/13632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30529 ÷ 217
    30529 ÷ 131072     		x = 0.232917785644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13632 ÷ 217
    13632 ÷ 131072     		y = 0.10400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.232917785644531 × 2 - 1) × π
    -0.534164428710938 × 3.1415926535     		Λ = -1.67812704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10400390625 × 2 - 1) × π
    0.7919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.48811683787939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67812704} λ = -1.67812704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48811683787939))-π/2
    2×atan(12.0385841551593)-π/2
    2×1.48792034553128-π/2
    2.97584069106256-1.57079632675     		φ = 1.40504436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67812704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.149597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40504436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.503112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30529 KachelY 13632 -1.67812704 1.40504436 -96.149597 80.503112
    Oben rechts KachelX + 1 30530 KachelY 13632 -1.67807911 1.40504436 -96.146851 80.503112
    Unten links KachelX 30529 KachelY + 1 13633 -1.67812704 1.40503645 -96.149597 80.502659
    Unten rechts KachelX + 1 30530 KachelY + 1 13633 -1.67807911 1.40503645 -96.146851 80.502659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40504436-1.40503645) × R
    7.90999999988884e-06 × 6371000     		dl = 50.3946099992918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40504436-1.40503645) × R
    7.90999999988884e-06 × 6371000     		dr = 50.3946099992918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67812704--1.67807911) × cos(1.40504436) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.164994038331102 × 6371000     		do = 50.3829144824805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67812704--1.67807911) × cos(1.40503645) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.165001839915942 × 6371000     		du = 50.3852967902647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40504436)-sin(1.40503645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164994038331102-0.165001839915942)×R²
    abs(-1.67807911--1.67812704)×7.80158484073312e-06×R²
    4.79299999998073e-05×7.80158484073312e-06×6371000²
    4.79299999998073e-05×7.80158484073312e-06×40589641000000     		ar = 2539.08735370711m²