Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30527 / 28910
↖ ↑ ↗
← S 79.651722°
E155.379639°		 ← 219.43 m → S 79.651722°
E155.390625°		 →
↑
219.42 m
↓
↑
219.42 m
↓
S 79.653695°
E155.379639°		 ← 219.39 m →
48 143 m²		 S 79.653695°
E155.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931625366210938 y=0.882278442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931625366210938 × 215)
    floor (0.931625366210938 × 32768)
    floor (30527.5)     		tx = 30527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882278442382812 × 215)
    floor (0.882278442382812 × 32768)
    floor (28910.5)     		ty = 28910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30527 / 28910 ti = "15/30527/28910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30527/28910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30527 ÷ 215
    30527 ÷ 32768     		x = 0.931610107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28910 ÷ 215
    28910 ÷ 32768     		y = 0.88226318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931610107421875 × 2 - 1) × π
    0.86322021484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71188629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88226318359375 × 2 - 1) × π
    -0.7645263671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.40183041856329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71188629} λ = 2.71188629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40183041856329))-π/2
    2×atan(0.0905520533431779)-π/2
    2×0.0903057647871823-π/2
    0.180611529574365-1.57079632675     		φ = -1.39018480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71188629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.379639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39018480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.651722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30527 KachelY 28910 2.71188629 -1.39018480 155.379639 -79.651722
    Oben rechts KachelX + 1 30528 KachelY 28910 2.71207803 -1.39018480 155.390625 -79.651722
    Unten links KachelX 30527 KachelY + 1 28911 2.71188629 -1.39021924 155.379639 -79.653695
    Unten rechts KachelX + 1 30528 KachelY + 1 28911 2.71207803 -1.39021924 155.390625 -79.653695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39018480--1.39021924) × R
    3.44399999998579e-05 × 6371000     		dl = 219.417239999095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39018480--1.39021924) × R
    3.44399999998579e-05 × 6371000     		dr = 219.417239999095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71188629-2.71207803) × cos(-1.39018480) × R
    0.000191739999999996 × 0.179631186693057 × 6371000     		do = 219.433063885407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71188629-2.71207803) × cos(-1.39021924) × R
    0.000191739999999996 × 0.179597306786627 × 6371000     		du = 219.391677020414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39018480)-sin(-1.39021924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179631186693057-0.179597306786627)×R²
    abs(2.71207803-2.71188629)×3.38799064301121e-05×R²
    0.000191739999999996×3.38799064301121e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.38799064301121e-05×40589641000000     		ar = 48142.8567510347m²