Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30526 / 20569
↖ ↑ ↗
← N 55.500639°
W 12.315674°		 ← 345.98 m → N 55.500639°
W 12.310180°		 →
↑
345.95 m
↓
↑
345.95 m
↓
N 55.497527°
W 12.315674°		 ← 346.01 m →
119 696 m²		 N 55.497527°
W 12.310180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465797424316406 y=0.313865661621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465797424316406 × 216)
    floor (0.465797424316406 × 65536)
    floor (30526.5)     		tx = 30526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313865661621094 × 216)
    floor (0.313865661621094 × 65536)
    floor (20569.5)     		ty = 20569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30526 / 20569 ti = "16/30526/20569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30526/20569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30526 ÷ 216
    30526 ÷ 65536     		x = 0.465789794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20569 ÷ 216
    20569 ÷ 65536     		y = 0.313858032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465789794921875 × 2 - 1) × π
    -0.06842041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21494906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313858032226562 × 2 - 1) × π
    0.372283935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.16956447693013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21494906} λ = -0.21494906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16956447693013))-π/2
    2×atan(3.22058969193345)-π/2
    2×1.26973260426591-π/2
    2.53946520853182-1.57079632675     		φ = 0.96866888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21494906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.315674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96866888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.500639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30526 KachelY 20569 -0.21494906 0.96866888 -12.315674 55.500639
    Oben rechts KachelX + 1 30527 KachelY 20569 -0.21485318 0.96866888 -12.310180 55.500639
    Unten links KachelX 30526 KachelY + 1 20570 -0.21494906 0.96861458 -12.315674 55.497527
    Unten rechts KachelX + 1 30527 KachelY + 1 20570 -0.21485318 0.96861458 -12.310180 55.497527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96866888-0.96861458) × R
    5.42999999999516e-05 × 6371000     		dl = 345.945299999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96866888-0.96861458) × R
    5.42999999999516e-05 × 6371000     		dr = 345.945299999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21494906--0.21485318) × cos(0.96866888) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.566397051885312 × 6371000     		do = 345.984477411753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21494906--0.21485318) × cos(0.96861458) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.5664418014451 × 6371000     		du = 346.011812746579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96866888)-sin(0.96861458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566397051885312-0.5664418014451)×R²
    abs(-0.21485318--0.21494906)×4.47495597878378e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.47495597878378e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.47495597878378e-05×40589641000000     		ar = 119696.432128357m²