Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30525 / 41557
↖ ↑ ↗
← S 43.409038°
W 12.321167°		 ← 443.72 m → S 43.409038°
W 12.315674°		 →
↑
443.74 m
↓
↑
443.74 m
↓
S 43.413029°
W 12.321167°		 ← 443.69 m →
196 888 m²		 S 43.413029°
W 12.315674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465782165527344 y=0.634117126464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465782165527344 × 216)
    floor (0.465782165527344 × 65536)
    floor (30525.5)     		tx = 30525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634117126464844 × 216)
    floor (0.634117126464844 × 65536)
    floor (41557.5)     		ty = 41557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30525 / 41557 ti = "16/30525/41557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30525/41557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30525 ÷ 216
    30525 ÷ 65536     		x = 0.465774536132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41557 ÷ 216
    41557 ÷ 65536     		y = 0.634109497070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465774536132812 × 2 - 1) × π
    -0.068450927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21504493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634109497070312 × 2 - 1) × π
    -0.268218994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.842634821521347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21504493} λ = -0.21504493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.842634821521347))-π/2
    2×atan(0.430574540464331)-π/2
    2×0.406582842394123-π/2
    0.813165684788246-1.57079632675     		φ = -0.75763064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21504493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.321167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75763064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.409038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30525 KachelY 41557 -0.21504493 -0.75763064 -12.321167 -43.409038
    Oben rechts KachelX + 1 30526 KachelY 41557 -0.21494906 -0.75763064 -12.315674 -43.409038
    Unten links KachelX 30525 KachelY + 1 41558 -0.21504493 -0.75770029 -12.321167 -43.413029
    Unten rechts KachelX + 1 30526 KachelY + 1 41558 -0.21494906 -0.75770029 -12.315674 -43.413029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75763064--0.75770029) × R
    6.96500000000322e-05 × 6371000     		dl = 443.740150000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75763064--0.75770029) × R
    6.96500000000322e-05 × 6371000     		dr = 443.740150000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21504493--0.21494906) × cos(-0.75763064) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.726466277563378 × 6371000     		do = 443.716717653127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21504493--0.21494906) × cos(-0.75770029) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.726418412173983 × 6371000     		du = 443.687482058678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75763064)-sin(-0.75770029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726466277563378-0.726418412173983)×R²
    abs(-0.21494906--0.21504493)×4.7865389395163e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7865389395163e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7865389395163e-05×40589641000000     		ar = 196888.4364247m²