Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30525 / 28955
↖ ↑ ↗
← S 79.740153°
E155.357666°		 ← 217.59 m → S 79.740153°
E155.368652°		 →
↑
217.57 m
↓
↑
217.57 m
↓
S 79.742109°
E155.357666°		 ← 217.55 m →
47 336 m²		 S 79.742109°
E155.368652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931564331054688 y=0.883651733398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931564331054688 × 215)
    floor (0.931564331054688 × 32768)
    floor (30525.5)     		tx = 30525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883651733398438 × 215)
    floor (0.883651733398438 × 32768)
    floor (28955.5)     		ty = 28955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30525 / 28955 ti = "15/30525/28955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30525/28955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30525 ÷ 215
    30525 ÷ 32768     		x = 0.931549072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28955 ÷ 215
    28955 ÷ 32768     		y = 0.883636474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931549072265625 × 2 - 1) × π
    0.86309814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71150279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883636474609375 × 2 - 1) × π
    -0.76727294921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.4104590604949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71150279} λ = 2.71150279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4104590604949))-π/2
    2×atan(0.0897740733809055)-π/2
    2×0.0895340583558589-π/2
    0.179068116711718-1.57079632675     		φ = -1.39172821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71150279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.357666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39172821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.740153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30525 KachelY 28955 2.71150279 -1.39172821 155.357666 -79.740153
    Oben rechts KachelX + 1 30526 KachelY 28955 2.71169454 -1.39172821 155.368652 -79.740153
    Unten links KachelX 30525 KachelY + 1 28956 2.71150279 -1.39176236 155.357666 -79.742109
    Unten rechts KachelX + 1 30526 KachelY + 1 28956 2.71169454 -1.39176236 155.368652 -79.742109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39172821--1.39176236) × R
    3.41500000000661e-05 × 6371000     		dl = 217.569650000421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39172821--1.39176236) × R
    3.41500000000661e-05 × 6371000     		dr = 217.569650000421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71150279-2.71169454) × cos(-1.39172821) × R
    0.000191749999999935 × 0.178112668409565 × 6371000     		do = 217.589426651286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71150279-2.71169454) × cos(-1.39176236) × R
    0.000191749999999935 × 0.178079064360789 × 6371000     		du = 217.548374626342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39172821)-sin(-1.39176236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178112668409565-0.178079064360789)×R²
    abs(2.71169454-2.71150279)×3.36040487758649e-05×R²
    0.000191749999999935×3.36040487758649e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.36040487758649e-05×40589641000000     		ar = 47336.3895676542m²