Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30524 / 20567
↖ ↑ ↗
← N 55.506861°
W 12.326660°		 ← 345.93 m → N 55.506861°
W 12.321167°		 →
↑
345.95 m
↓
↑
345.95 m
↓
N 55.503750°
W 12.326660°		 ← 345.96 m →
119 678 m²		 N 55.503750°
W 12.321167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465766906738281 y=0.313835144042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465766906738281 × 216)
    floor (0.465766906738281 × 65536)
    floor (30524.5)     		tx = 30524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313835144042969 × 216)
    floor (0.313835144042969 × 65536)
    floor (20567.5)     		ty = 20567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30524 / 20567 ti = "16/30524/20567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30524/20567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30524 ÷ 216
    30524 ÷ 65536     		x = 0.46575927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20567 ÷ 216
    20567 ÷ 65536     		y = 0.313827514648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46575927734375 × 2 - 1) × π
    -0.0684814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21514081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313827514648438 × 2 - 1) × π
    0.372344970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16975622452861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21514081} λ = -0.21514081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16975622452861))-π/2
    2×atan(3.22120729148229)-π/2
    2×1.26978690261253-π/2
    2.53957380522507-1.57079632675     		φ = 0.96877748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21514081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.326660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96877748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.506861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30524 KachelY 20567 -0.21514081 0.96877748 -12.326660 55.506861
    Oben rechts KachelX + 1 30525 KachelY 20567 -0.21504493 0.96877748 -12.321167 55.506861
    Unten links KachelX 30524 KachelY + 1 20568 -0.21514081 0.96872318 -12.326660 55.503750
    Unten rechts KachelX + 1 30525 KachelY + 1 20568 -0.21504493 0.96872318 -12.321167 55.503750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96877748-0.96872318) × R
    5.42999999999516e-05 × 6371000     		dl = 345.945299999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96877748-0.96872318) × R
    5.42999999999516e-05 × 6371000     		dr = 345.945299999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21514081--0.21504493) × cos(0.96877748) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.56630754775582 × 6371000     		do = 345.929803681787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21514081--0.21504493) × cos(0.96872318) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.566352300655508 × 6371000     		du = 345.957141056795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96877748)-sin(0.96872318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56630754775582-0.566352300655508)×R²
    abs(-0.21504493--0.21514081)×4.4752899687861e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.4752899687861e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.4752899687861e-05×40589641000000     		ar = 119677.518361008m²