Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30523 / 28941
↖ ↑ ↗
← S 79.712721°
E155.335693°		 ← 218.16 m → S 79.712721°
E155.346680°		 →
↑
218.14 m
↓
↑
218.14 m
↓
S 79.714683°
E155.335693°		 ← 218.12 m →
47 587 m²		 S 79.714683°
E155.346680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931503295898438 y=0.883224487304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931503295898438 × 215)
    floor (0.931503295898438 × 32768)
    floor (30523.5)     		tx = 30523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883224487304688 × 215)
    floor (0.883224487304688 × 32768)
    floor (28941.5)     		ty = 28941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30523 / 28941 ti = "15/30523/28941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30523/28941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30523 ÷ 215
    30523 ÷ 32768     		x = 0.931488037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28941 ÷ 215
    28941 ÷ 32768     		y = 0.883209228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931488037109375 × 2 - 1) × π
    0.86297607421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.71111929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883209228515625 × 2 - 1) × π
    -0.76641845703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.40777459411618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71111929} λ = 2.71111929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40777459411618))-π/2
    2×atan(0.090015392624356)-π/2
    2×0.0897734431148609-π/2
    0.179546886229722-1.57079632675     		φ = -1.39124944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71111929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.335693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39124944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.712721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30523 KachelY 28941 2.71111929 -1.39124944 155.335693 -79.712721
    Oben rechts KachelX + 1 30524 KachelY 28941 2.71131104 -1.39124944 155.346680 -79.712721
    Unten links KachelX 30523 KachelY + 1 28942 2.71111929 -1.39128368 155.335693 -79.714683
    Unten rechts KachelX + 1 30524 KachelY + 1 28942 2.71131104 -1.39128368 155.346680 -79.714683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39124944--1.39128368) × R
    3.42399999999632e-05 × 6371000     		dl = 218.143039999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39124944--1.39128368) × R
    3.42399999999632e-05 × 6371000     		dr = 218.143039999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71111929-2.71131104) × cos(-1.39124944) × R
    0.000191749999999935 × 0.178583762493697 × 6371000     		do = 218.164933674904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71111929-2.71131104) × cos(-1.39128368) × R
    0.000191749999999935 × 0.178550072806865 × 6371000     		du = 218.123777031151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39124944)-sin(-1.39128368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178583762493697-0.178550072806865)×R²
    abs(2.71131104-2.71111929)×3.36896868315395e-05×R²
    0.000191749999999935×3.36896868315395e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.36896868315395e-05×40589641000000     		ar = 47586.6728402385m²