Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30523 / 28939
↖ ↑ ↗
← S 79.708796°
E155.335693°		 ← 218.25 m → S 79.708796°
E155.346680°		 →
↑
218.21 m
↓
↑
218.21 m
↓
S 79.710759°
E155.335693°		 ← 218.21 m →
47 619 m²		 S 79.710759°
E155.346680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931503295898438 y=0.883163452148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931503295898438 × 215)
    floor (0.931503295898438 × 32768)
    floor (30523.5)     		tx = 30523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883163452148438 × 215)
    floor (0.883163452148438 × 32768)
    floor (28939.5)     		ty = 28939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30523 / 28939 ti = "15/30523/28939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30523/28939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30523 ÷ 215
    30523 ÷ 32768     		x = 0.931488037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28939 ÷ 215
    28939 ÷ 32768     		y = 0.883148193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931488037109375 × 2 - 1) × π
    0.86297607421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.71111929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883148193359375 × 2 - 1) × π
    -0.76629638671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.40739109891922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71111929} λ = 2.71111929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40739109891922))-π/2
    2×atan(0.0900499197151435)-π/2
    2×0.0898076925835898-π/2
    0.17961538516718-1.57079632675     		φ = -1.39118094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71111929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.335693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39118094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.708796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30523 KachelY 28939 2.71111929 -1.39118094 155.335693 -79.708796
    Oben rechts KachelX + 1 30524 KachelY 28939 2.71131104 -1.39118094 155.346680 -79.708796
    Unten links KachelX 30523 KachelY + 1 28940 2.71111929 -1.39121519 155.335693 -79.710759
    Unten rechts KachelX + 1 30524 KachelY + 1 28940 2.71131104 -1.39121519 155.346680 -79.710759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39118094--1.39121519) × R
    3.42500000001245e-05 × 6371000     		dl = 218.206750000793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39118094--1.39121519) × R
    3.42500000001245e-05 × 6371000     		dr = 218.206750000793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71111929-2.71131104) × cos(-1.39118094) × R
    0.000191749999999935 × 0.178651160917467 × 6371000     		do = 218.24727023477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71111929-2.71131104) × cos(-1.39121519) × R
    0.000191749999999935 × 0.178617461810347 × 6371000     		du = 218.206102082822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39118094)-sin(-1.39121519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178651160917467-0.178617461810347)×R²
    abs(2.71131104-2.71111929)×3.36991071205883e-05×R²
    0.000191749999999935×3.36991071205883e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.36991071205883e-05×40589641000000     		ar = 47618.5359547815m²