Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30523 / 20565
↖ ↑ ↗
← N 55.513082°
W 12.332153°		 ← 345.84 m → N 55.513082°
W 12.326660°		 →
↑
345.88 m
↓
↑
345.88 m
↓
N 55.509971°
W 12.332153°		 ← 345.87 m →
119 624 m²		 N 55.509971°
W 12.326660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465751647949219 y=0.313804626464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465751647949219 × 216)
    floor (0.465751647949219 × 65536)
    floor (30523.5)     		tx = 30523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313804626464844 × 216)
    floor (0.313804626464844 × 65536)
    floor (20565.5)     		ty = 20565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30523 / 20565 ti = "16/30523/20565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30523/20565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30523 ÷ 216
    30523 ÷ 65536     		x = 0.465744018554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20565 ÷ 216
    20565 ÷ 65536     		y = 0.313796997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465744018554688 × 2 - 1) × π
    -0.068511962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21523668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313796997070312 × 2 - 1) × π
    0.372406005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.16994797212709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21523668} λ = -0.21523668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16994797212709))-π/2
    2×atan(3.22182500946572)-π/2
    2×1.26984119237868-π/2
    2.53968238475736-1.57079632675     		φ = 0.96888606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21523668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.332153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96888606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.513082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30523 KachelY 20565 -0.21523668 0.96888606 -12.332153 55.513082
    Oben rechts KachelX + 1 30524 KachelY 20565 -0.21514081 0.96888606 -12.326660 55.513082
    Unten links KachelX 30523 KachelY + 1 20566 -0.21523668 0.96883177 -12.332153 55.509971
    Unten rechts KachelX + 1 30524 KachelY + 1 20566 -0.21514081 0.96883177 -12.326660 55.509971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96888606-0.96883177) × R
    5.42900000000124e-05 × 6371000     		dl = 345.881590000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96888606-0.96883177) × R
    5.42900000000124e-05 × 6371000     		dr = 345.881590000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21523668--0.21514081) × cos(0.96888606) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.566218053432429 × 6371000     		do = 345.839062189827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21523668--0.21514081) × cos(0.96883177) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.566262801428627 × 6371000     		du = 345.866393718637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96888606)-sin(0.96883177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566218053432429-0.566262801428627)×R²
    abs(-0.21514081--0.21523668)×4.47479961978026e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.47479961978026e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.47479961978026e-05×40589641000000     		ar = 119624.091480078m²