Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30523 / 20291
↖ ↑ ↗
← N 56.356121°
W 12.332153°		 ← 338.39 m → N 56.356121°
W 12.326660°		 →
↑
338.43 m
↓
↑
338.43 m
↓
N 56.353078°
W 12.332153°		 ← 338.42 m →
114 527 m²		 N 56.353078°
W 12.326660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465751647949219 y=0.309623718261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465751647949219 × 216)
    floor (0.465751647949219 × 65536)
    floor (30523.5)     		tx = 30523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309623718261719 × 216)
    floor (0.309623718261719 × 65536)
    floor (20291.5)     		ty = 20291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30523 / 20291 ti = "16/30523/20291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30523/20291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30523 ÷ 216
    30523 ÷ 65536     		x = 0.465744018554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20291 ÷ 216
    20291 ÷ 65536     		y = 0.309616088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465744018554688 × 2 - 1) × π
    -0.068511962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21523668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309616088867188 × 2 - 1) × π
    0.380767822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19621739311888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21523668} λ = -0.21523668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19621739311888))-π/2
    2×atan(3.30758194800531)-π/2
    2×1.27719809688997-π/2
    2.55439619377994-1.57079632675     		φ = 0.98359987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21523668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.332153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98359987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.356121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30523 KachelY 20291 -0.21523668 0.98359987 -12.332153 56.356121
    Oben rechts KachelX + 1 30524 KachelY 20291 -0.21514081 0.98359987 -12.326660 56.356121
    Unten links KachelX 30523 KachelY + 1 20292 -0.21523668 0.98354675 -12.332153 56.353078
    Unten rechts KachelX + 1 30524 KachelY + 1 20292 -0.21514081 0.98354675 -12.326660 56.353078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98359987-0.98354675) × R
    5.31200000000176e-05 × 6371000     		dl = 338.427520000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98359987-0.98354675) × R
    5.31200000000176e-05 × 6371000     		dr = 338.427520000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21523668--0.21514081) × cos(0.98359987) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.554029261412825 × 6371000     		do = 338.394297093177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21523668--0.21514081) × cos(0.98354675) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.554073482882071 × 6371000     		du = 338.421307025764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98359987)-sin(0.98354675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554029261412825-0.554073482882071)×R²
    abs(-0.21514081--0.21523668)×4.42214692462084e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.42214692462084e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.42214692462084e-05×40589641000000     		ar = 114526.513226693m²