Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30522 / 28976
↖ ↑ ↗
← S 79.781164°
E155.324707°		 ← 216.72 m → S 79.781164°
E155.335693°		 →
↑
216.68 m
↓
↑
216.68 m
↓
S 79.783113°
E155.324707°		 ← 216.68 m →
46 953 m²		 S 79.783113°
E155.335693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931472778320312 y=0.884292602539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931472778320312 × 215)
    floor (0.931472778320312 × 32768)
    floor (30522.5)     		tx = 30522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884292602539062 × 215)
    floor (0.884292602539062 × 32768)
    floor (28976.5)     		ty = 28976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30522 / 28976 ti = "15/30522/28976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30522/28976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30522 ÷ 215
    30522 ÷ 32768     		x = 0.93145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28976 ÷ 215
    28976 ÷ 32768     		y = 0.88427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93145751953125 × 2 - 1) × π
    0.8629150390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71092755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88427734375 × 2 - 1) × π
    -0.7685546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41448576006299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71092755} λ = 2.71092755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41448576006299))-π/2
    2×atan(0.0894133069947877)-π/2
    2×0.0891761647956013-π/2
    0.178352329591203-1.57079632675     		φ = -1.39244400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71092755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.324707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39244400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.781164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30522 KachelY 28976 2.71092755 -1.39244400 155.324707 -79.781164
    Oben rechts KachelX + 1 30523 KachelY 28976 2.71111929 -1.39244400 155.335693 -79.781164
    Unten links KachelX 30522 KachelY + 1 28977 2.71092755 -1.39247801 155.324707 -79.783113
    Unten rechts KachelX + 1 30523 KachelY + 1 28977 2.71111929 -1.39247801 155.335693 -79.783113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39244400--1.39247801) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dl = 216.677710000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39244400--1.39247801) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dr = 216.677710000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71092755-2.71111929) × cos(-1.39244400) × R
    0.000191739999999996 × 0.177408278251583 × 6371000     		do = 216.717613305643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71092755-2.71111929) × cos(-1.39247801) × R
    0.000191739999999996 × 0.177374807638074 × 6371000     		du = 216.676726422871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39244400)-sin(-1.39247801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177408278251583-0.177374807638074)×R²
    abs(2.71111929-2.71092755)×3.34706135089735e-05×R²
    0.000191739999999996×3.34706135089735e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.34706135089735e-05×40589641000000     		ar = 46953.4465342697m²