Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30521 / 7257
↖ ↑ ↗
← N 70.285411°
E155.313721°		 ← 412.10 m → N 70.285411°
E155.324707°		 →
↑
412.14 m
↓
↑
412.14 m
↓
N 70.281705°
E155.313721°		 ← 412.18 m →
169 859 m²		 N 70.281705°
E155.324707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931442260742188 y=0.221481323242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931442260742188 × 215)
    floor (0.931442260742188 × 32768)
    floor (30521.5)     		tx = 30521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221481323242188 × 215)
    floor (0.221481323242188 × 32768)
    floor (7257.5)     		ty = 7257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30521 / 7257 ti = "15/30521/7257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30521/7257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30521 ÷ 215
    30521 ÷ 32768     		x = 0.931427001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7257 ÷ 215
    7257 ÷ 32768     		y = 0.221466064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931427001953125 × 2 - 1) × π
    0.86285400390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.71073580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221466064453125 × 2 - 1) × π
    0.55706787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.75008033132901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71073580} λ = 2.71073580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75008033132901))-π/2
    2×atan(5.75506496945469)-π/2
    2×1.39875408159446-π/2
    2.79750816318892-1.57079632675     		φ = 1.22671184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71073580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.313721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22671184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.285411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30521 KachelY 7257 2.71073580 1.22671184 155.313721 70.285411
    Oben rechts KachelX + 1 30522 KachelY 7257 2.71092755 1.22671184 155.324707 70.285411
    Unten links KachelX 30521 KachelY + 1 7258 2.71073580 1.22664715 155.313721 70.281705
    Unten rechts KachelX + 1 30522 KachelY + 1 7258 2.71092755 1.22664715 155.324707 70.281705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22671184-1.22664715) × R
    6.46900000000894e-05 × 6371000     		dl = 412.13999000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22671184-1.22664715) × R
    6.46900000000894e-05 × 6371000     		dr = 412.13999000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71073580-2.71092755) × cos(1.22671184) × R
    0.000191749999999935 × 0.337334968632085 × 6371000     		do = 412.101638078334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71073580-2.71092755) × cos(1.22664715) × R
    0.000191749999999935 × 0.337395866101262 × 6371000     		du = 412.176032816907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22671184)-sin(1.22664715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337334968632085-0.337395866101262)×R²
    abs(2.71092755-2.71073580)×6.08974691777009e-05×R²
    0.000191749999999935×6.08974691777009e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.08974691777009e-05×40589641000000     		ar = 169858.895579523m²