Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30521 / 41559
↖ ↑ ↗
← S 43.417019°
W 12.343140°		 ← 443.70 m → S 43.417019°
W 12.337646°		 →
↑
443.68 m
↓
↑
443.68 m
↓
S 43.421009°
W 12.343140°		 ← 443.68 m →
196 855 m²		 S 43.421009°
W 12.337646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465721130371094 y=0.634147644042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465721130371094 × 216)
    floor (0.465721130371094 × 65536)
    floor (30521.5)     		tx = 30521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634147644042969 × 216)
    floor (0.634147644042969 × 65536)
    floor (41559.5)     		ty = 41559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30521 / 41559 ti = "16/30521/41559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30521/41559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30521 ÷ 216
    30521 ÷ 65536     		x = 0.465713500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41559 ÷ 216
    41559 ÷ 65536     		y = 0.634140014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465713500976562 × 2 - 1) × π
    -0.068572998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21542843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634140014648438 × 2 - 1) × π
    -0.268280029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.842826569119827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21542843} λ = -0.21542843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.842826569119827))-π/2
    2×atan(0.430491986745222)-π/2
    2×0.406513197901036-π/2
    0.813026395802072-1.57079632675     		φ = -0.75776993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21542843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.343140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75776993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.417019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30521 KachelY 41559 -0.21542843 -0.75776993 -12.343140 -43.417019
    Oben rechts KachelX + 1 30522 KachelY 41559 -0.21533255 -0.75776993 -12.337646 -43.417019
    Unten links KachelX 30521 KachelY + 1 41560 -0.21542843 -0.75783957 -12.343140 -43.421009
    Unten rechts KachelX + 1 30522 KachelY + 1 41560 -0.21533255 -0.75783957 -12.337646 -43.421009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75776993--0.75783957) × R
    6.96399999999819e-05 × 6371000     		dl = 443.676439999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75776993--0.75783957) × R
    6.96399999999819e-05 × 6371000     		dr = 443.676439999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21542843--0.21533255) × cos(-0.75776993) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.726370550133676 × 6371000     		do = 443.704525577536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21542843--0.21533255) × cos(-0.75783957) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.726322684570668 × 6371000     		du = 443.675286827532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75776993)-sin(-0.75783957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726370550133676-0.726322684570668)×R²
    abs(-0.21533255--0.21542843)×4.78655630076208e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78655630076208e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78655630076208e-05×40589641000000     		ar = 196854.758127336m²