Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30520 / 28937
↖ ↑ ↗
← S 79.704870°
E155.302734°		 ← 218.33 m → S 79.704870°
E155.313721°		 →
↑
218.27 m
↓
↑
218.27 m
↓
S 79.706833°
E155.302734°		 ← 218.29 m →
47 650 m²		 S 79.706833°
E155.313721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931411743164062 y=0.883102416992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931411743164062 × 215)
    floor (0.931411743164062 × 32768)
    floor (30520.5)     		tx = 30520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883102416992188 × 215)
    floor (0.883102416992188 × 32768)
    floor (28937.5)     		ty = 28937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30520 / 28937 ti = "15/30520/28937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30520/28937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30520 ÷ 215
    30520 ÷ 32768     		x = 0.931396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28937 ÷ 215
    28937 ÷ 32768     		y = 0.883087158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.931396484375 × 2 - 1) × π
    0.86279296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.71054405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883087158203125 × 2 - 1) × π
    -0.76617431640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40700760372226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71054405} λ = 2.71054405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40700760372226))-π/2
    2×atan(0.0900844600494438)-π/2
    2×0.0898419549779621-π/2
    0.179683909955924-1.57079632675     		φ = -1.39111242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71054405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.302734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39111242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.704870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30520 KachelY 28937 2.71054405 -1.39111242 155.302734 -79.704870
    Oben rechts KachelX + 1 30521 KachelY 28937 2.71073580 -1.39111242 155.313721 -79.704870
    Unten links KachelX 30520 KachelY + 1 28938 2.71054405 -1.39114668 155.302734 -79.706833
    Unten rechts KachelX + 1 30521 KachelY + 1 28938 2.71073580 -1.39114668 155.313721 -79.706833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39111242--1.39114668) × R
    3.42600000000637e-05 × 6371000     		dl = 218.270460000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39111242--1.39114668) × R
    3.42600000000637e-05 × 6371000     		dr = 218.270460000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71054405-2.71073580) × cos(-1.39111242) × R
    0.000191749999999935 × 0.178718578180967 × 6371000     		do = 218.329629809988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71054405-2.71073580) × cos(-1.39114668) × R
    0.000191749999999935 × 0.178684869654082 × 6371000     		du = 218.288450150487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39111242)-sin(-1.39114668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178718578180967-0.178684869654082)×R²
    abs(2.71073580-2.71054405)×3.37085268841963e-05×R²
    0.000191749999999935×3.37085268841963e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.37085268841963e-05×40589641000000     		ar = 47650.414584126m²