Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30520 / 20573
↖ ↑ ↗
← N 55.488192°
W 12.348633°		 ← 346.06 m → N 55.488192°
W 12.343140°		 →
↑
346.14 m
↓
↑
346.14 m
↓
N 55.485079°
W 12.348633°		 ← 346.09 m →
119 788 m²		 N 55.485079°
W 12.343140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465705871582031 y=0.313926696777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465705871582031 × 216)
    floor (0.465705871582031 × 65536)
    floor (30520.5)     		tx = 30520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313926696777344 × 216)
    floor (0.313926696777344 × 65536)
    floor (20573.5)     		ty = 20573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30520 / 20573 ti = "16/30520/20573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30520/20573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30520 ÷ 216
    30520 ÷ 65536     		x = 0.4656982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20573 ÷ 216
    20573 ÷ 65536     		y = 0.313919067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4656982421875 × 2 - 1) × π
    -0.068603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21552430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313919067382812 × 2 - 1) × π
    0.372161865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.16918098173317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21552430} λ = -0.21552430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16918098173317))-π/2
    2×atan(3.2193548480487)-π/2
    2×1.26962398182835-π/2
    2.5392479636567-1.57079632675     		φ = 0.96845164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21552430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.348633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96845164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.488192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30520 KachelY 20573 -0.21552430 0.96845164 -12.348633 55.488192
    Oben rechts KachelX + 1 30521 KachelY 20573 -0.21542843 0.96845164 -12.343140 55.488192
    Unten links KachelX 30520 KachelY + 1 20574 -0.21552430 0.96839731 -12.348633 55.485079
    Unten rechts KachelX + 1 30521 KachelY + 1 20574 -0.21542843 0.96839731 -12.343140 55.485079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96845164-0.96839731) × R
    5.43299999999913e-05 × 6371000     		dl = 346.136429999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96845164-0.96839731) × R
    5.43299999999913e-05 × 6371000     		dr = 346.136429999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21552430--0.21542843) × cos(0.96845164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.566576073063425 × 6371000     		do = 346.057736201759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21552430--0.21542843) × cos(0.96839731) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.566620840659959 × 6371000     		du = 346.085079702214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96845164)-sin(0.96839731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566576073063425-0.566620840659959)×R²
    abs(-0.21542843--0.21552430)×4.47675965334904e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47675965334904e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47675965334904e-05×40589641000000     		ar = 119787.921702911m²