Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30520 / 20392
↖ ↑ ↗
← N 56.047500°
W 12.348633°		 ← 341.13 m → N 56.047500°
W 12.343140°		 →
↑
341.17 m
↓
↑
341.17 m
↓
N 56.044432°
W 12.348633°		 ← 341.16 m →
116 386 m²		 N 56.044432°
W 12.343140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465705871582031 y=0.311164855957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465705871582031 × 216)
    floor (0.465705871582031 × 65536)
    floor (30520.5)     		tx = 30520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311164855957031 × 216)
    floor (0.311164855957031 × 65536)
    floor (20392.5)     		ty = 20392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30520 / 20392 ti = "16/30520/20392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30520/20392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30520 ÷ 216
    30520 ÷ 65536     		x = 0.4656982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20392 ÷ 216
    20392 ÷ 65536     		y = 0.3111572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4656982421875 × 2 - 1) × π
    -0.068603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21552430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3111572265625 × 2 - 1) × π
    0.377685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18653413939563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21552430} λ = -0.21552430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18653413939563))-π/2
    2×atan(3.27570836185612)-π/2
    2×1.27450486600734-π/2
    2.54900973201467-1.57079632675     		φ = 0.97821341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21552430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.348633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97821341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.047500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30520 KachelY 20392 -0.21552430 0.97821341 -12.348633 56.047500
    Oben rechts KachelX + 1 30521 KachelY 20392 -0.21542843 0.97821341 -12.343140 56.047500
    Unten links KachelX 30520 KachelY + 1 20393 -0.21552430 0.97815986 -12.348633 56.044432
    Unten rechts KachelX + 1 30521 KachelY + 1 20393 -0.21542843 0.97815986 -12.343140 56.044432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97821341-0.97815986) × R
    5.35499999999578e-05 × 6371000     		dl = 341.167049999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97821341-0.97815986) × R
    5.35499999999578e-05 × 6371000     		dr = 341.167049999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21552430--0.21542843) × cos(0.97821341) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558505415293066 × 6371000     		do = 341.128277139768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21552430--0.21542843) × cos(0.97815986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558549834264098 × 6371000     		du = 341.15540770403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97821341)-sin(0.97815986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558505415293066-0.558549834264098)×R²
    abs(-0.21542843--0.21552430)×4.44189710319121e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44189710319121e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44189710319121e-05×40589641000000     		ar = 116386.356038734m²