Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30519 / 20390
↖ ↑ ↗
← N 56.053635°
W 12.354126°		 ← 341.07 m → N 56.053635°
W 12.348633°		 →
↑
341.10 m
↓
↑
341.10 m
↓
N 56.050567°
W 12.354126°		 ← 341.10 m →
116 346 m²		 N 56.050567°
W 12.348633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465690612792969 y=0.311134338378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465690612792969 × 216)
    floor (0.465690612792969 × 65536)
    floor (30519.5)     		tx = 30519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311134338378906 × 216)
    floor (0.311134338378906 × 65536)
    floor (20390.5)     		ty = 20390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30519 / 20390 ti = "16/30519/20390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30519/20390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30519 ÷ 216
    30519 ÷ 65536     		x = 0.465682983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20390 ÷ 216
    20390 ÷ 65536     		y = 0.311126708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465682983398438 × 2 - 1) × π
    -0.068634033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21562017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311126708984375 × 2 - 1) × π
    0.37774658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18672588699411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21562017} λ = -0.21562017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18672588699411))-π/2
    2×atan(3.27633653129089)-π/2
    2×1.27455840778552-π/2
    2.54911681557104-1.57079632675     		φ = 0.97832049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21562017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.354126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97832049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.053635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30519 KachelY 20390 -0.21562017 0.97832049 -12.354126 56.053635
    Oben rechts KachelX + 1 30520 KachelY 20390 -0.21552430 0.97832049 -12.348633 56.053635
    Unten links KachelX 30519 KachelY + 1 20391 -0.21562017 0.97826695 -12.354126 56.050567
    Unten rechts KachelX + 1 30520 KachelY + 1 20391 -0.21552430 0.97826695 -12.348633 56.050567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97832049-0.97826695) × R
    5.35400000000186e-05 × 6371000     		dl = 341.103340000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97832049-0.97826695) × R
    5.35400000000186e-05 × 6371000     		dr = 341.103340000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21562017--0.21552430) × cos(0.97832049) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558416589137628 × 6371000     		do = 341.074023210371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21562017--0.21552430) × cos(0.97826695) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55846100301577 × 6371000     		du = 341.101150663958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97832049)-sin(0.97826695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558416589137628-0.55846100301577)×R²
    abs(-0.21552430--0.21562017)×4.44138781416914e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44138781416914e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44138781416914e-05×40589641000000     		ar = 116346.115164552m²