Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30518 / 41565
↖ ↑ ↗
← S 43.440955°
W 12.359619°		 ← 443.53 m → S 43.440955°
W 12.354126°		 →
↑
443.49 m
↓
↑
443.49 m
↓
S 43.444943°
W 12.359619°		 ← 443.50 m →
196 692 m²		 S 43.444943°
W 12.354126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465675354003906 y=0.634239196777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465675354003906 × 216)
    floor (0.465675354003906 × 65536)
    floor (30518.5)     		tx = 30518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634239196777344 × 216)
    floor (0.634239196777344 × 65536)
    floor (41565.5)     		ty = 41565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30518 / 41565 ti = "16/30518/41565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30518/41565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30518 ÷ 216
    30518 ÷ 65536     		x = 0.465667724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41565 ÷ 216
    41565 ÷ 65536     		y = 0.634231567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465667724609375 × 2 - 1) × π
    -0.06866455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21571605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634231567382812 × 2 - 1) × π
    -0.268463134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.843401811915268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21571605} λ = -0.21571605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.843401811915268))-π/2
    2×atan(0.430244420543516)-π/2
    2×0.406304319488878-π/2
    0.812608638977756-1.57079632675     		φ = -0.75818769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21571605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.359619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75818769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.440955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30518 KachelY 41565 -0.21571605 -0.75818769 -12.359619 -43.440955
    Oben rechts KachelX + 1 30519 KachelY 41565 -0.21562017 -0.75818769 -12.354126 -43.440955
    Unten links KachelX 30518 KachelY + 1 41566 -0.21571605 -0.75825730 -12.359619 -43.444943
    Unten rechts KachelX + 1 30519 KachelY + 1 41566 -0.21562017 -0.75825730 -12.354126 -43.444943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75818769--0.75825730) × R
    6.96100000000532e-05 × 6371000     		dl = 443.485310000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75818769--0.75825730) × R
    6.96100000000532e-05 × 6371000     		dr = 443.485310000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21571605--0.21562017) × cos(-0.75818769) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.726083358931782 × 6371000     		do = 443.529094406816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21571605--0.21562017) × cos(-0.75825730) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.726035492871207 × 6371000     		du = 443.499855352872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75818769)-sin(-0.75825730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726083358931782-0.726035492871207)×R²
    abs(-0.21562017--0.21571605)×4.78660605744974e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78660605744974e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78660605744974e-05×40589641000000     		ar = 196692.154461214m²