Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30518 / 28950
↖ ↑ ↗
← S 79.730364°
E155.280762°		 ← 217.78 m → S 79.730364°
E155.291748°		 →
↑
217.76 m
↓
↑
217.76 m
↓
S 79.732323°
E155.280762°		 ← 217.74 m →
47 420 m²		 S 79.732323°
E155.291748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931350708007812 y=0.883499145507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931350708007812 × 215)
    floor (0.931350708007812 × 32768)
    floor (30518.5)     		tx = 30518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883499145507812 × 215)
    floor (0.883499145507812 × 32768)
    floor (28950.5)     		ty = 28950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30518 / 28950 ti = "15/30518/28950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30518/28950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30518 ÷ 215
    30518 ÷ 32768     		x = 0.93133544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28950 ÷ 215
    28950 ÷ 32768     		y = 0.88348388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93133544921875 × 2 - 1) × π
    0.8626708984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71016056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88348388671875 × 2 - 1) × π
    -0.7669677734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.4095003225025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71016056} λ = 2.71016056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4095003225025))-π/2
    2×atan(0.0898601844681779)-π/2
    2×0.089619480334018-π/2
    0.179238960668036-1.57079632675     		φ = -1.39155737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71016056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.280762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39155737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.730364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30518 KachelY 28950 2.71016056 -1.39155737 155.280762 -79.730364
    Oben rechts KachelX + 1 30519 KachelY 28950 2.71035230 -1.39155737 155.291748 -79.730364
    Unten links KachelX 30518 KachelY + 1 28951 2.71016056 -1.39159155 155.280762 -79.732323
    Unten rechts KachelX + 1 30519 KachelY + 1 28951 2.71035230 -1.39159155 155.291748 -79.732323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39155737--1.39159155) × R
    3.41800000001058e-05 × 6371000     		dl = 217.760780000674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39155737--1.39159155) × R
    3.41800000001058e-05 × 6371000     		dr = 217.760780000674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71016056-2.71035230) × cos(-1.39155737) × R
    0.000191739999999996 × 0.178280774095045 × 6371000     		do = 217.783432886767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71016056-2.71035230) × cos(-1.39159155) × R
    0.000191739999999996 × 0.178247141566231 × 6371000     		du = 217.742348212221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39155737)-sin(-1.39159155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178280774095045-0.178247141566231)×R²
    abs(2.71035230-2.71016056)×3.36325288134987e-05×R²
    0.000191739999999996×3.36325288134987e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.36325288134987e-05×40589641000000     		ar = 47420.2169055038m²