Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30516 / 28957
↖ ↑ ↗
← S 79.744065°
E155.258789°		 ← 217.51 m → S 79.744065°
E155.269775°		 →
↑
217.51 m
↓
↑
217.51 m
↓
S 79.746021°
E155.258789°		 ← 217.47 m →
47 305 m²		 S 79.746021°
E155.269775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931289672851562 y=0.883712768554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931289672851562 × 215)
    floor (0.931289672851562 × 32768)
    floor (30516.5)     		tx = 30516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883712768554688 × 215)
    floor (0.883712768554688 × 32768)
    floor (28957.5)     		ty = 28957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30516 / 28957 ti = "15/30516/28957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30516/28957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30516 ÷ 215
    30516 ÷ 32768     		x = 0.9312744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28957 ÷ 215
    28957 ÷ 32768     		y = 0.883697509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9312744140625 × 2 - 1) × π
    0.862548828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70977706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883697509765625 × 2 - 1) × π
    -0.76739501953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.41084255569186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70977706} λ = 2.70977706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41084255569186))-π/2
    2×atan(0.0897396520555807)-π/2
    2×0.0894999121226449-π/2
    0.17899982424529-1.57079632675     		φ = -1.39179650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70977706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.258789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39179650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.744065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30516 KachelY 28957 2.70977706 -1.39179650 155.258789 -79.744065
    Oben rechts KachelX + 1 30517 KachelY 28957 2.70996881 -1.39179650 155.269775 -79.744065
    Unten links KachelX 30516 KachelY + 1 28958 2.70977706 -1.39183064 155.258789 -79.746021
    Unten rechts KachelX + 1 30517 KachelY + 1 28958 2.70996881 -1.39183064 155.269775 -79.746021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39179650--1.39183064) × R
    3.41399999999048e-05 × 6371000     		dl = 217.505939999393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39179650--1.39183064) × R
    3.41399999999048e-05 × 6371000     		dr = 217.505939999393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70977706-2.70996881) × cos(-1.39179650) × R
    0.000191749999999935 × 0.178045469944556 × 6371000     		do = 217.507334368891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70977706-2.70996881) × cos(-1.39183064) × R
    0.000191749999999935 × 0.178011875320804 × 6371000     		du = 217.466293857927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39179650)-sin(-1.39183064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178045469944556-0.178011875320804)×R²
    abs(2.70996881-2.70977706)×3.35946237519369e-05×R²
    0.000191749999999935×3.35946237519369e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.35946237519369e-05×40589641000000     		ar = 47304.67394612m²