Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30516 / 28949
↖ ↑ ↗
← S 79.728405°
E155.258789°		 ← 217.84 m → S 79.728405°
E155.269775°		 →
↑
217.82 m
↓
↑
217.82 m
↓
S 79.730364°
E155.258789°		 ← 217.79 m →
47 446 m²		 S 79.730364°
E155.269775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931289672851562 y=0.883468627929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931289672851562 × 215)
    floor (0.931289672851562 × 32768)
    floor (30516.5)     		tx = 30516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883468627929688 × 215)
    floor (0.883468627929688 × 32768)
    floor (28949.5)     		ty = 28949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30516 / 28949 ti = "15/30516/28949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30516/28949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30516 ÷ 215
    30516 ÷ 32768     		x = 0.9312744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28949 ÷ 215
    28949 ÷ 32768     		y = 0.883453369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9312744140625 × 2 - 1) × π
    0.862548828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70977706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883453369140625 × 2 - 1) × π
    -0.76690673828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.40930857490402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70977706} λ = 2.70977706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40930857490402))-π/2
    2×atan(0.0898774165948053)-π/2
    2×0.0896365744020913-π/2
    0.179273148804183-1.57079632675     		φ = -1.39152318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70977706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.258789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39152318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.728405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30516 KachelY 28949 2.70977706 -1.39152318 155.258789 -79.728405
    Oben rechts KachelX + 1 30517 KachelY 28949 2.70996881 -1.39152318 155.269775 -79.728405
    Unten links KachelX 30516 KachelY + 1 28950 2.70977706 -1.39155737 155.258789 -79.730364
    Unten rechts KachelX + 1 30517 KachelY + 1 28950 2.70996881 -1.39155737 155.269775 -79.730364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39152318--1.39155737) × R
    3.4189999999823e-05 × 6371000     		dl = 217.824489998872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39152318--1.39155737) × R
    3.4189999999823e-05 × 6371000     		dr = 217.824489998872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70977706-2.70996881) × cos(-1.39152318) × R
    0.000191749999999935 × 0.178314416255313 × 6371000     		do = 217.835889738255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70977706-2.70996881) × cos(-1.39155737) × R
    0.000191749999999935 × 0.178280774095045 × 6371000     		du = 217.794791154816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39152318)-sin(-1.39155737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178314416255313-0.178280774095045)×R²
    abs(2.70996881-2.70977706)×3.36421602683545e-05×R²
    0.000191749999999935×3.36421602683545e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.36421602683545e-05×40589641000000     		ar = 47445.51545155m²