Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30516 / 28931
↖ ↑ ↗
← S 79.693083°
E155.258789°		 ← 218.58 m → S 79.693083°
E155.269775°		 →
↑
218.53 m
↓
↑
218.53 m
↓
S 79.695048°
E155.258789°		 ← 218.54 m →
47 760 m²		 S 79.695048°
E155.269775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931289672851562 y=0.882919311523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931289672851562 × 215)
    floor (0.931289672851562 × 32768)
    floor (30516.5)     		tx = 30516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.882919311523438 × 215)
    floor (0.882919311523438 × 32768)
    floor (28931.5)     		ty = 28931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30516 / 28931 ti = "15/30516/28931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30516/28931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30516 ÷ 215
    30516 ÷ 32768     		x = 0.9312744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28931 ÷ 215
    28931 ÷ 32768     		y = 0.882904052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9312744140625 × 2 - 1) × π
    0.862548828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70977706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.882904052734375 × 2 - 1) × π
    -0.76580810546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.40585711813138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70977706} λ = 2.70977706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40585711813138))-π/2
    2×atan(0.0901881605642287)-π/2
    2×0.0899448197621194-π/2
    0.179889639524239-1.57079632675     		φ = -1.39090669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70977706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.258789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39090669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.693083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30516 KachelY 28931 2.70977706 -1.39090669 155.258789 -79.693083
    Oben rechts KachelX + 1 30517 KachelY 28931 2.70996881 -1.39090669 155.269775 -79.693083
    Unten links KachelX 30516 KachelY + 1 28932 2.70977706 -1.39094099 155.258789 -79.695048
    Unten rechts KachelX + 1 30517 KachelY + 1 28932 2.70996881 -1.39094099 155.269775 -79.695048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39090669--1.39094099) × R
    3.43000000000426e-05 × 6371000     		dl = 218.525300000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39090669--1.39094099) × R
    3.43000000000426e-05 × 6371000     		dr = 218.525300000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70977706-2.70996881) × cos(-1.39090669) × R
    0.000191749999999935 × 0.178920992192494 × 6371000     		do = 218.576906711221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70977706-2.70996881) × cos(-1.39094099) × R
    0.000191749999999935 × 0.178887245571085 × 6371000     		du = 218.535680513953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39090669)-sin(-1.39094099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178920992192494-0.178887245571085)×R²
    abs(2.70996881-2.70977706)×3.37466214088422e-05×R²
    0.000191749999999935×3.37466214088422e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.37466214088422e-05×40589641000000     		ar = 47760.0796330789m²