Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30516 / 20274
↖ ↑ ↗
← N 56.407823°
W 12.370606°		 ← 337.97 m → N 56.407823°
W 12.365112°		 →
↑
337.98 m
↓
↑
337.98 m
↓
N 56.404784°
W 12.370606°		 ← 338 m →
114 232 m²		 N 56.404784°
W 12.365112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465644836425781 y=0.309364318847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465644836425781 × 216)
    floor (0.465644836425781 × 65536)
    floor (30516.5)     		tx = 30516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309364318847656 × 216)
    floor (0.309364318847656 × 65536)
    floor (20274.5)     		ty = 20274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30516 / 20274 ti = "16/30516/20274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30516/20274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30516 ÷ 216
    30516 ÷ 65536     		x = 0.46563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20274 ÷ 216
    20274 ÷ 65536     		y = 0.309356689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46563720703125 × 2 - 1) × π
    -0.0687255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21590780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309356689453125 × 2 - 1) × π
    0.38128662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.19784724770596
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21590780} λ = -0.21590780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19784724770596))-π/2
    2×atan(3.31297722117643)-π/2
    2×1.27764928423142-π/2
    2.55529856846284-1.57079632675     		φ = 0.98450224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21590780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.370606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98450224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.407823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30516 KachelY 20274 -0.21590780 0.98450224 -12.370606 56.407823
    Oben rechts KachelX + 1 30517 KachelY 20274 -0.21581192 0.98450224 -12.365112 56.407823
    Unten links KachelX 30516 KachelY + 1 20275 -0.21590780 0.98444919 -12.370606 56.404784
    Unten rechts KachelX + 1 30517 KachelY + 1 20275 -0.21581192 0.98444919 -12.365112 56.404784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98450224-0.98444919) × R
    5.30499999999989e-05 × 6371000     		dl = 337.981549999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98450224-0.98444919) × R
    5.30499999999989e-05 × 6371000     		dr = 337.981549999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21590780--0.21581192) × cos(0.98450224) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.55327781545697 × 6371000     		do = 337.970572423129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21590780--0.21581192) × cos(0.98444919) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.553322005158329 × 6371000     		du = 337.997565767605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98450224)-sin(0.98444919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55327781545697-0.553322005158329)×R²
    abs(-0.21581192--0.21590780)×4.41897013588877e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.41897013588877e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.41897013588877e-05×40589641000000     		ar = 114232.379575004m²