Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30516 / 20272
↖ ↑ ↗
← N 56.413901°
W 12.370606°		 ← 337.92 m → N 56.413901°
W 12.365112°		 →
↑
337.92 m
↓
↑
337.92 m
↓
N 56.410862°
W 12.370606°		 ← 337.94 m →
114 193 m²		 N 56.410862°
W 12.365112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465644836425781 y=0.309333801269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465644836425781 × 216)
    floor (0.465644836425781 × 65536)
    floor (30516.5)     		tx = 30516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309333801269531 × 216)
    floor (0.309333801269531 × 65536)
    floor (20272.5)     		ty = 20272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30516 / 20272 ti = "16/30516/20272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30516/20272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30516 ÷ 216
    30516 ÷ 65536     		x = 0.46563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20272 ÷ 216
    20272 ÷ 65536     		y = 0.309326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46563720703125 × 2 - 1) × π
    -0.0687255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21590780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309326171875 × 2 - 1) × π
    0.38134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19803899530444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21590780} λ = -0.21590780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19803899530444))-π/2
    2×atan(3.31361253751066)-π/2
    2×1.27770232484132-π/2
    2.55540464968263-1.57079632675     		φ = 0.98460832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21590780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.370606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98460832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.413901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30516 KachelY 20272 -0.21590780 0.98460832 -12.370606 56.413901
    Oben rechts KachelX + 1 30517 KachelY 20272 -0.21581192 0.98460832 -12.365112 56.413901
    Unten links KachelX 30516 KachelY + 1 20273 -0.21590780 0.98455528 -12.370606 56.410862
    Unten rechts KachelX + 1 30517 KachelY + 1 20273 -0.21581192 0.98455528 -12.365112 56.410862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98460832-0.98455528) × R
    5.30399999999487e-05 × 6371000     		dl = 337.917839999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98460832-0.98455528) × R
    5.30399999999487e-05 × 6371000     		dr = 337.917839999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21590780--0.21581192) × cos(0.98460832) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.553189448044213 × 6371000     		do = 337.916593058262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21590780--0.21581192) × cos(0.98455528) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.553233632528781 × 6371000     		du = 337.943583216054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98460832)-sin(0.98455528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553189448044213-0.553233632528781)×R²
    abs(-0.21581192--0.21590780)×4.41844845684436e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.41844845684436e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.41844845684436e-05×40589641000000     		ar = 114192.605481013m²