Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30516 / 16971
↖ ↑ ↗
← N 65.194556°
W 12.370606°		 ← 256.28 m → N 65.194556°
W 12.365112°		 →
↑
256.31 m
↓
↑
256.31 m
↓
N 65.192251°
W 12.370606°		 ← 256.30 m →
65 688 m²		 N 65.192251°
W 12.365112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465644836425781 y=0.258964538574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465644836425781 × 216)
    floor (0.465644836425781 × 65536)
    floor (30516.5)     		tx = 30516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258964538574219 × 216)
    floor (0.258964538574219 × 65536)
    floor (16971.5)     		ty = 16971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30516 / 16971 ti = "16/30516/16971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30516/16971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30516 ÷ 216
    30516 ÷ 65536     		x = 0.46563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16971 ÷ 216
    16971 ÷ 65536     		y = 0.258956909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46563720703125 × 2 - 1) × π
    -0.0687255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21590780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258956909179688 × 2 - 1) × π
    0.482086181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51451840659605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21590780} λ = -0.21590780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51451840659605))-π/2
    2×atan(4.54723068313314)-π/2
    2×1.35432798770517-π/2
    2.70865597541033-1.57079632675     		φ = 1.13785965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21590780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.370606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13785965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.194556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30516 KachelY 16971 -0.21590780 1.13785965 -12.370606 65.194556
    Oben rechts KachelX + 1 30517 KachelY 16971 -0.21581192 1.13785965 -12.365112 65.194556
    Unten links KachelX 30516 KachelY + 1 16972 -0.21590780 1.13781942 -12.370606 65.192251
    Unten rechts KachelX + 1 30517 KachelY + 1 16972 -0.21581192 1.13781942 -12.365112 65.192251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13785965-1.13781942) × R
    4.02299999999745e-05 × 6371000     		dl = 256.305329999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13785965-1.13781942) × R
    4.02299999999745e-05 × 6371000     		dr = 256.305329999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21590780--0.21581192) × cos(1.13785965) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.419538339656554 × 6371000     		do = 256.275615696003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21590780--0.21581192) × cos(1.13781942) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.41957485760138 × 6371000     		du = 256.297922736647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13785965)-sin(1.13781942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419538339656554-0.41957485760138)×R²
    abs(-0.21581192--0.21590780)×3.65179448258424e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.65179448258424e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.65179448258424e-05×40589641000000     		ar = 65687.6649674066m²