Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30514 / 28954
↖ ↑ ↗
← S 79.738195°
E155.236817°		 ← 217.62 m → S 79.738195°
E155.247802°		 →
↑
217.63 m
↓
↑
217.63 m
↓
S 79.740153°
E155.236817°		 ← 217.58 m →
47 357 m²		 S 79.740153°
E155.247802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.931228637695312 y=0.883621215820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.931228637695312 × 215)
    floor (0.931228637695312 × 32768)
    floor (30514.5)     		tx = 30514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883621215820312 × 215)
    floor (0.883621215820312 × 32768)
    floor (28954.5)     		ty = 28954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30514 / 28954 ti = "15/30514/28954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30514/28954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30514 ÷ 215
    30514 ÷ 32768     		x = 0.93121337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28954 ÷ 215
    28954 ÷ 32768     		y = 0.88360595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93121337890625 × 2 - 1) × π
    0.8624267578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70939357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88360595703125 × 2 - 1) × π
    -0.7672119140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.41026731289642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70939357} λ = 2.70939357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41026731289642))-π/2
    2×atan(0.0897912889943556)-π/2
    2×0.0895511363051574-π/2
    0.179102272610315-1.57079632675     		φ = -1.39169405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70939357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.236817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39169405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.738195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30514 KachelY 28954 2.70939357 -1.39169405 155.236817 -79.738195
    Oben rechts KachelX + 1 30515 KachelY 28954 2.70958531 -1.39169405 155.247802 -79.738195
    Unten links KachelX 30514 KachelY + 1 28955 2.70939357 -1.39172821 155.236817 -79.740153
    Unten rechts KachelX + 1 30515 KachelY + 1 28955 2.70958531 -1.39172821 155.247802 -79.740153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39169405--1.39172821) × R
    3.41600000000053e-05 × 6371000     		dl = 217.633360000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39169405--1.39172821) × R
    3.41600000000053e-05 × 6371000     		dr = 217.633360000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70939357-2.70958531) × cos(-1.39169405) × R
    0.000191739999999996 × 0.178146282090662 × 6371000     		do = 217.619140743888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70939357-2.70958531) × cos(-1.39172821) × R
    0.000191739999999996 × 0.178112668409565 × 6371000     		du = 217.57807909325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39169405)-sin(-1.39172821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178146282090662-0.178112668409565)×R²
    abs(2.70958531-2.70939357)×3.36136810969445e-05×R²
    0.000191739999999996×3.36136810969445e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.36136810969445e-05×40589641000000     		ar = 47356.7166124326m²