Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30514 / 17002
↖ ↑ ↗
← N 65.123017°
W 12.381592°		 ← 256.94 m → N 65.123017°
W 12.376099°		 →
↑
256.94 m
↓
↑
256.94 m
↓
N 65.120706°
W 12.381592°		 ← 256.96 m →
66 022 m²		 N 65.120706°
W 12.376099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465614318847656 y=0.259437561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465614318847656 × 216)
    floor (0.465614318847656 × 65536)
    floor (30514.5)     		tx = 30514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259437561035156 × 216)
    floor (0.259437561035156 × 65536)
    floor (17002.5)     		ty = 17002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30514 / 17002 ti = "16/30514/17002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30514/17002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30514 ÷ 216
    30514 ÷ 65536     		x = 0.465606689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17002 ÷ 216
    17002 ÷ 65536     		y = 0.259429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465606689453125 × 2 - 1) × π
    -0.06878662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21609954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259429931640625 × 2 - 1) × π
    0.48114013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51154631881961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21609954} λ = -0.21609954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51154631881961))-π/2
    2×atan(4.5337359780607)-π/2
    2×1.35370369372449-π/2
    2.70740738744897-1.57079632675     		φ = 1.13661106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21609954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.381592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13661106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.123017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30514 KachelY 17002 -0.21609954 1.13661106 -12.381592 65.123017
    Oben rechts KachelX + 1 30515 KachelY 17002 -0.21600367 1.13661106 -12.376099 65.123017
    Unten links KachelX 30514 KachelY + 1 17003 -0.21609954 1.13657073 -12.381592 65.120706
    Unten rechts KachelX + 1 30515 KachelY + 1 17003 -0.21600367 1.13657073 -12.376099 65.120706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13661106-1.13657073) × R
    4.03299999998108e-05 × 6371000     		dl = 256.942429998795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13661106-1.13657073) × R
    4.03299999998108e-05 × 6371000     		dr = 256.942429998795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21609954--0.21600367) × cos(1.13661106) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420671404448176 × 6371000     		do = 256.940949025664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21609954--0.21600367) × cos(1.13657073) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420707992009502 × 6371000     		du = 256.963296260656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13661106)-sin(1.13657073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420671404448176-0.420707992009502)×R²
    abs(-0.21600367--0.21609954)×3.6587561325796e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6587561325796e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6587561325796e-05×40589641000000     		ar = 66021.9027944219m²