Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30513 / 20292
↖ ↑ ↗
← N 56.353078°
W 12.387085°		 ← 338.46 m → N 56.353078°
W 12.381592°		 →
↑
338.49 m
↓
↑
338.49 m
↓
N 56.350034°
W 12.387085°		 ← 338.48 m →
114 569 m²		 N 56.350034°
W 12.381592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465599060058594 y=0.309638977050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465599060058594 × 216)
    floor (0.465599060058594 × 65536)
    floor (30513.5)     		tx = 30513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309638977050781 × 216)
    floor (0.309638977050781 × 65536)
    floor (20292.5)     		ty = 20292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30513 / 20292 ti = "16/30513/20292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30513/20292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30513 ÷ 216
    30513 ÷ 65536     		x = 0.465591430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20292 ÷ 216
    20292 ÷ 65536     		y = 0.30963134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465591430664062 × 2 - 1) × π
    -0.068817138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21619542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30963134765625 × 2 - 1) × π
    0.3807373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19612151931964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21619542} λ = -0.21619542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19612151931964))-π/2
    2×atan(3.30726485275846)-π/2
    2×1.27717153738487-π/2
    2.55434307476974-1.57079632675     		φ = 0.98354675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21619542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.387085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98354675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.353078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30513 KachelY 20292 -0.21619542 0.98354675 -12.387085 56.353078
    Oben rechts KachelX + 1 30514 KachelY 20292 -0.21609954 0.98354675 -12.381592 56.353078
    Unten links KachelX 30513 KachelY + 1 20293 -0.21619542 0.98349362 -12.387085 56.350034
    Unten rechts KachelX + 1 30514 KachelY + 1 20293 -0.21609954 0.98349362 -12.381592 56.350034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98354675-0.98349362) × R
    5.31300000000678e-05 × 6371000     		dl = 338.491230000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98354675-0.98349362) × R
    5.31300000000678e-05 × 6371000     		dr = 338.491230000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21619542--0.21609954) × cos(0.98354675) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.554073482882071 × 6371000     		do = 338.456607047242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21619542--0.21609954) × cos(0.98349362) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.554117711112252 × 6371000     		du = 338.483623927106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98354675)-sin(0.98349362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554073482882071-0.554117711112252)×R²
    abs(-0.21609954--0.21619542)×4.42282301813535e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.42282301813535e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.42282301813535e-05×40589641000000     		ar = 114569.165736858m²