Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30513 / 16999
↖ ↑ ↗
← N 65.129948°
W 12.387085°		 ← 256.90 m → N 65.129948°
W 12.381592°		 →
↑
256.88 m
↓
↑
256.88 m
↓
N 65.127638°
W 12.387085°		 ← 256.92 m →
65 995 m²		 N 65.127638°
W 12.381592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465599060058594 y=0.259391784667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465599060058594 × 216)
    floor (0.465599060058594 × 65536)
    floor (30513.5)     		tx = 30513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259391784667969 × 216)
    floor (0.259391784667969 × 65536)
    floor (16999.5)     		ty = 16999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30513 / 16999 ti = "16/30513/16999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30513/16999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30513 ÷ 216
    30513 ÷ 65536     		x = 0.465591430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16999 ÷ 216
    16999 ÷ 65536     		y = 0.259384155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465591430664062 × 2 - 1) × π
    -0.068817138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21619542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259384155273438 × 2 - 1) × π
    0.481231689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51183394021733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21619542} λ = -0.21619542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51183394021733))-π/2
    2×atan(4.53504016508666)-π/2
    2×1.35376418288074-π/2
    2.70752836576148-1.57079632675     		φ = 1.13673204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21619542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.387085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13673204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.129948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30513 KachelY 16999 -0.21619542 1.13673204 -12.387085 65.129948
    Oben rechts KachelX + 1 30514 KachelY 16999 -0.21609954 1.13673204 -12.381592 65.129948
    Unten links KachelX 30513 KachelY + 1 17000 -0.21619542 1.13669172 -12.387085 65.127638
    Unten rechts KachelX + 1 30514 KachelY + 1 17000 -0.21609954 1.13669172 -12.381592 65.127638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13673204-1.13669172) × R
    4.03200000000936e-05 × 6371000     		dl = 256.878720000596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13673204-1.13669172) × R
    4.03200000000936e-05 × 6371000     		dr = 256.878720000596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21619542--0.21609954) × cos(1.13673204) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.420561646731721 × 6371000     		do = 256.900704337289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21619542--0.21609954) × cos(1.13669172) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.420598227272906 × 6371000     		du = 256.923049615011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13673204)-sin(1.13669172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420561646731721-0.420598227272906)×R²
    abs(-0.21609954--0.21619542)×3.65805411851605e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.65805411851605e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.65805411851605e-05×40589641000000     		ar = 65995.1941197245m²