Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30512 / 20176
↖ ↑ ↗
← N 56.704505°
W 12.392578°		 ← 335.30 m → N 56.704505°
W 12.387085°		 →
↑
335.31 m
↓
↑
335.31 m
↓
N 56.701490°
W 12.392578°		 ← 335.32 m →
112 431 m²		 N 56.701490°
W 12.387085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465583801269531 y=0.307868957519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465583801269531 × 216)
    floor (0.465583801269531 × 65536)
    floor (30512.5)     		tx = 30512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307868957519531 × 216)
    floor (0.307868957519531 × 65536)
    floor (20176.5)     		ty = 20176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30512 / 20176 ti = "16/30512/20176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30512/20176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30512 ÷ 216
    30512 ÷ 65536     		x = 0.465576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20176 ÷ 216
    20176 ÷ 65536     		y = 0.307861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.465576171875 × 2 - 1) × π
    -0.06884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21629129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307861328125 × 2 - 1) × π
    0.38427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20724288003149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21629129} λ = -0.21629129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20724288003149))-π/2
    2×atan(3.34425142745307)-π/2
    2×1.28023832522941-π/2
    2.56047665045882-1.57079632675     		φ = 0.98968032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21629129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.392578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98968032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.704505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30512 KachelY 20176 -0.21629129 0.98968032 -12.392578 56.704505
    Oben rechts KachelX + 1 30513 KachelY 20176 -0.21619542 0.98968032 -12.387085 56.704505
    Unten links KachelX 30512 KachelY + 1 20177 -0.21629129 0.98962769 -12.392578 56.701490
    Unten rechts KachelX + 1 30513 KachelY + 1 20177 -0.21619542 0.98962769 -12.387085 56.701490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98968032-0.98962769) × R
    5.2629999999998e-05 × 6371000     		dl = 335.305729999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98968032-0.98962769) × R
    5.2629999999998e-05 × 6371000     		dr = 335.305729999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21629129--0.21619542) × cos(0.98968032) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.548957093325112 × 6371000     		do = 335.296278857719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21629129--0.21619542) × cos(0.98962769) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.54900108337824 × 6371000     		du = 335.323147444172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98968032)-sin(0.98962769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548957093325112-0.54900108337824)×R²
    abs(-0.21619542--0.21629129)×4.39900531281623e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.39900531281623e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.39900531281623e-05×40589641000000     		ar = 112431.268170191m²